Algebra III: La Ecuación Cuártica o de Cuarto Grado

Hola Elementales,

Feliz Año Nuevo 2011!

Nos habíamos quedado en nuestro capítulo anterior en que ya sabíamos resolver la ecuación de tercer grado o cúbica. El método pese a tener muchos cálculos, no era nada del otro mundo: sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces cuadradas y cubicas...muchos pasos en un orden adecuado. Mucho ingenio en varios cambios de variable y buen ojo en saber llegar a la solución adecuada cuando además del cambio añadimos una variable extra y de los muchas soluciones escogimos la que nos interesaba.

Como dijimos entonces, fue el discípulo de Cardano,  Lodovico Ferrari el que acometió su solución, y la publicó este primero en su famoso libro Artis Magnae

De nuevo se hace un cambio de variable para llegar a la ecuación "deprimida":  Primera Gran idea

Tras sustituir...

Haremos un breve inciso para poder desarrollar un binomio a la cuarta potencia: conforme al binomio de Newton, sólo hay que aplicar un poco de combinatoria: el primer término elevado al coficiente mayor (en este caso 4) y luego todas las combinaciones añadiendo el segundo término, en cada paso aumenta uno el segundo y disminuye uno el primero, hasta llegar al último término donde sólo vuelve a quedar el segundo término al exponente máximo (en este caso 4). Los coeficientes son los números combinatorios de cuatro elementos tomados de 2 en dos: 4 sobre 0: 1, 4 sobre 1: 4, 4 sobre 2: 6, 4 sobre 3: 4 y 4 sobre 4: 1. Así tenemos:

Hipercubo o Teseracto, cortesia de Wikipedia

La interpretación geométrica no podemos dibujarla porque se trata de un Hipercubo , un objeto de cuatro dimensiones, sólo podemos imaginarlo fugazmente por sus proyecciones en 3D (que son cubos). La verdad es que yo nunca he podido "verlo".... Cada vez que "cruza" nuestro Universo en 3D lo veríamos de forma cambiante, como una sombra en 3D de un objeto 4D.... ímaginaros cómo se proyecta la sombra de un cubo 3D en una pared 2D... girarlo para comprobar lo difícil que resulta imaginarse el objeto a partir de las sombras.... 

Si quereis hacer el ejecicio mental os pongo el link a la fantastica página de epsilones: www. epsilones.com Epsilones    descarga del programa d4.exe donde podeis descargar un programa donde se ven las sombras del hipercubo en nuestro mundo de sólo tres dimensiones conforme lo vais moviendo en cualquiera de los 4 ejes...

Y hay un extracto en YouTube de la explicación del siempre genialmente divulgativo Carl Sagan de la serie "Cosmos", que he localizado gracias a http://www.teknoplof.com/. Un día, o varios hablaremos de Carl Sagan y su enorme contribución a la divulgación científica, gracias a él se veía una serie en TV increible en calidad y contenido en hora punta hace años... creo que vamos definitivamente hacia atrás en la televisión.

Recordamos también el del cubo:

Así ya podemos desarrollar la expresión:

Agrupando y simplificando un poco, queda:

Como no tiene sentido arrastrar todos esos paréntesis todo el tiempo, llamémosles, p, q y r respectivamente. Al final podremos deshacer este cambio fácilmente:

La Segunda Gran Idea: ya que no tenemos término al cubo, se puede expresar esa ecuación cuártica, como el producto de dos expresiones al cuadrado...factorizandolo así:

Resolverla no es nada sencillo pero sí un ejercicio de paciencia colosal, ya obtenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas no lineales:

y al resolverlo obtenemos nada menos que una ecuación de sexto grado, pero no con todos los términos. Realmente es una ecuación bicúbica. Con un sencillo cambio del tipo A=a^2, nos queda una ecuación cubica, que sabemos resolver (ver al final todo el proceso).

Al igual que cuando la ecuación cubica obteníamos una cuadrada... hasta ahora todo igual cambiando un orden la ecuación.

Ya sólo nos queda: obtener las 6 soluciones deshaciendo A por alfa, calcular beta y gamma (expresiones (5) y (6). A partir de ellas calculamos p, q y r. A partir de ellas Z. Y para terminar deshacemos el cambio y obtendriamos X (para las 4 soluciones). Parecen muñecas rusas, una dentro de otra, ¿verdad?.

Al final obtenemos cuatro soluciones que constan de raíces cuadradas y cubicas incluyendo p, q y r.... ocupan muchisimo, pero os pongo una de ellas:

Son muy aparatosos los cálculos pero al fin y al cabo, se trata sólo de una expresión algebraica...

En este punto seguro que nos estamos preguntando cómo será la solución general de la ecuación quinta o de quinto grado.... todo el mundo pensará, como se pensaba entonces, que requerirá ingenio e idea feliz... muchísima paciencia y que habría que hacer cambios de variable, resolver una ecuación cuarta, luego una cubica, luego muchos cálculos con raíces quintas, cuartas, cubicas y cuadradas y ya estaría: 

¡nos equivocaríamos como lo hicieron entonces! la solución no aparecía y por más que se intentaba: nada!. En matemáticas no basta con estar muy seguro de algo hay que demostrarlo... veremos una de las historias más "novelesca" de todas las matemáticas con "Galois" de protagonista.

Un saludo Elementales



Francisco José Menchen

PD para todos los que me lo han pedido ahí va cómo resolver el sistema de ecuaciones para obtener la ecuación de sexto grado:

Algebra II: La Ecuación Cúbica

Hola a todos,

Vamos a abordar la segunda entrada dedicada al álgebra, en la anterior vimos cómo resolver la ecuación de segundo grado (aunque la mayoría ya lo sabia) y su interpretación geométrica.

¡Vamos a por la ecuación cúbica!

El descubrimiento de la solución está lleno de polémica sobre quien fue el verdadero descubridor, incluso hoy en día. Se le atribuye a Cardano en su famoso libro "Ars Magna" en 1545 la primera publicación rigurosa de la solución general completa de la ecuación de tercer grado y de la de cuarto y de los números imaginarios. Sin embargo a él le comunicó la solución de la ecuación reducida (sin término al cuadrado) Tartaglia. La leyenda dice que bajo juramento de no revelar el secreto de la solución; de todas formas parece que ya era un secreto a voces por la región y la época Cardano se animó a publicar (y Tartaglia disputó...). Para colmo no fue ninguno, ya que consta que en 1515 ya la había logrado Scipione dal Ferro.Y la ecuación de cuarto grado la resolvió un discípulo de Cardano llamado Lodovico Ferrari. Cardano no negó ninguna de estas cosas... fue un gran recopilador y comunicador.

Vamos a volver a recordar que el álgebra en esta época era una cuestión de pura audacia e ingenio, no había ningún método general para abordar este tipo de problemas.

La ecuación general es del tipo:

La primera idea genial: hacer un cambio de variable:

para que tras resolver los cálculos se elimine el término al cuadrado y sólo quede la expresión "reducida":

Para desarrollarlo, haremos un breve paréntesis, como desarrollar el cubo de una suma o una resta:

Cuya interpretación geométrica y representación gráfica es muy ilustrativa:

Desarrollando...

Agrupando los coeficientes del mismo grado:

Para no arrastrar toda esa expresión llamaremos p y q a los términos de los paréntesis. Notar que el término de z al cuadrado desaparece tal y como queríamos:

Ahora viene la Segunda Idea Feliz, o segunda argucia: Nuevo cambio de variable: z = u + v

Desarrollando:

Reagrupamos de un modo peculiar. así:

Como hemos introducido una variable adicional (u y v) en lugar de sólo una inicial z, podemos imponer una condición adicional para que el resultado coincida y sea el deseado:

Empleamos un par de trucos más: como llamar U al cubo de u, y V al cubo de v:

Podemos demostrar que entonces U y V son las soluciones de la ecuación cuadrada:

Donde U+V = -q; y UV=-P^3/27.. ya que:

Resolviéndola,como ya sabemos y deshaciendo todos los cambios de variable hacia atrás, como si de muñecas rusas se tratara...obtenemos estas tres soluciones: (que nadie se asuste):

Usualmente se les suele llamar así:

Donde alfa y beta son las soluciones de la ecuación cuadrática anterior,y omega y omega al cuadrado son las otras dos soluciones de raíz cubica de 1 (la primera es trivial y es 1).

 Ya que la raíz cubica de 1 es 1, factorizamos el polinomio por Ruffini, sabiendo esa raíz, y nos queda un polinomio de grado dos que sabemos resolver:

La ecuacion de la linea superior es X^3=1; despejando X^3-1=0; luego sale 1 0 0 -1 de la linea superior (los ceros son por los terminos que no hay: X^2 y X). Como sabemos que una raiz es 1 (ya que 1 al cubo es 1) lo aplicamos...

 

Al dividir el polinomio resultante es 1 1 1, o sea X^2+X+1=0;

Como podemos ver es todo un pequeño monumento al ingenio y la paciencia..

Seguiremos en el próximo capitulo del álgebra, donde lo dejo el discípulo de Cardano, Ferrari quien resolvió también y de un modo muy similar la ecuación de cuarto grado.

Saludos Navideños

Francisco Jose Menchen

Crean un Superfoton: condensado Bose-Einstein de fotones

Hola Elementales,

Acaban de publicar hace unos días una noticia que aunque a primera vista parece sólo de tecnología, realmente plantea dudas y cuestiones profundas, de conceptos de mecánica cuántica.

Como además ha sido un centro de investigación Universidad de Bonn no tan habitual, parece aún con más mérito.

Han conseguido algo que hasta ahora no se había conseguido, de hecho había serias dudas de que fuera siquiera posible: un Condensado de Bose-Einstein  de fotones.

Un condensado así, se postuló en 1920 en un artículo conjunto por Satyendra Nath Bose y Albert Einstein una posibilidad para un gas de átomos: si los enfriamos tanto que se acercaran todos a su estado de mínima energía, ocuparían todos el mismo estado cuántico: serían como un único superátomo o un conjunto en una extraña coherencia cuántica. En 1995 Eric Cornell y Carl Wieman encontraron por fin un condensado como el predicho teóricamente, enfriando un gas de átomos con la técnica del láser: se hace absorver a los átomos un tipo de fotones escogidos para cada tipo, al subir y bajar de órbita sus electrones con su absorción y posterior reemisión se enfría, además se extraen los átomos más energéticos con lo que se enfría aún más.

Nath Bose, cortesía de Wikipedia

El problema hasta ahora, era que al hacer eso con los fotones e intentar enfriarlos (sea lo que sea que esto signifique, si lo pensáis bien ¿tiene temperatura un fotón, oscilación térmica?) desaparecían.

Para conseguirlo, el truco ha consistido en lo contrario: considerar al fotón como una partícula, así si para enfriar partículas empleamos fotones, para enfriar fotones hemos empleado "átomos". ¿Parece lógico no? Han hecho pasar los fotones por un tanque de líquido con un pigmento a muy baja temperatura, y los fotones cruzan miles de veces entre ellos tras rebotar entre dos espejos: al final los fotones han adquirido la temperatura ultra baja de los átonos del pigmento y el fluido. Excitando el pigmento con más luz de ese tipo han ido aumentando la concentración hasta conseguir el condensado!

Aparte de las dudas profundas de la naturaleza cuántica de los fotones que se abren e intuyen, el experimento abre por fin la puerta a la posibilidad de un láser de frecuencias energéticas más altas: como por ejemplo alto ultravioleta, rayos x, etc...

El láser es un rayo de luz mono direccional, mono cromático y coherente (todos sus fotones están en un estado cuántico "en fase"). Pero no sabemos hacerlos nada más que hasta luz visible... este estado puede ser un buen sucedáneo o un buen candidato si se consigue producir en tamaños mayores y de forma industrialmente aplicable.

¿Que para qué queremos láseres de frecuencias más altas? para millones de aplicaciones que ya realizamos con el láser, pero para tamaños aún más pequeños: en biología, nanotecnología, materiales de diseño, física aplicada, etc... desde nuevos dispositivos para PC, memorias, etc más pequeños (miles de veces menores), comunicaciones para telecomunicaciones miles de veces más rápidas, etc... 

¿Que os parece eso de "enfriar la luz"?¿Y los láseres de rayos X?¿Y la posibilidad de multiplicar casi inmediatamente la capacidad de todas las fibras ópticas y memorias de almacenamiento en más de mil?


 

Un saludo

Francisco Jose Menchen

Novedades del CERN Otoño de 2010: Sopa de Quarks y Gluones!

Sopa de quarks y gluones a 7 billones de grados (12 ceros)

Hola Elementales,

Seguro que estáis preguntándoos que qué ha pasado con el famoso experimento en el CERN de Ginebra: en el LHC (Large Hadron Collider). Y si no, seguro que ahora sí os lo estáis preguntando: ¡Es verdad con tanto ruido y de repente nada, no se oye nada de él!

Tras su desafortunado arranque en falso hace ya dos años, parada obligada de un año para repararlo y dotarlo de mejores medidas de seguridad y control, llevan ya un año funcionando y no han publicado casi nada: sólo que por fin llegaron a la velocidad y energía máxima de funcionamiento con protones hasta los 7TeV (3,5TeV por haz de protones que giran en sentido contrario y que chocan frontalmente), pero la intensidad del haz aún dejaba mucho que desear y que la irían aumentando progresivamente... pero no han encontrado nada! o mejor dicho nada realmente nuevo, inesperado o ni siquiera esperado... han vuelto a producir y medir quarks Top y partículas con el quark B (botton) para seguir el modelo... pero nada más.

La noticia es que antes de su parada periódica anual en invierno, para reajustes y sobre todo para no competir por la energía (porque consume muchísima energía) en pleno invierno con el pico local de la zona de Ginebra y alrededores, lo han cargado con IONES de PLOMO, sí han cambiado el tipo de proyectil empleado, en lugar de protones, van a emplear iones pesados de plomo desnudos totalmente de electrones.

La ventaja es evidente: se consigue una energía de choque que aumenta de manera directa con el aumento de la masa. como el plomo tiene 82 protones y muchos más neutrones (unos 125 de media, pero los isótopos estables son con 204, 206, 207 y 208, (el 210 es radiactivo y precursor del Polonio 210).

¡Así conseguimos una energía de choque de 287TeV por haz! Una energía de choque de 574TeV...

Ya se habían hecho experimentos de este tipo en el Fermilab con energías por debajo de 1Tev y se descubrió un nuevo estado de la materia: la Sopa de Quarks y Gluones. Se esperaba que fuera un tipo de plasma, pero resultó que tenía nuevas e insospechadas propiedades: era un superfluido (un material con resistencia a fluir cero, nada viscoso).

Este es el tipo de materia que tuvo que haber al comienzo del Universo, un fracción de tiempo después (unos 15 o 20 microsegundos). Y desde este estado el universo evolucionó expandiéndose y enfriándose, y esa sopa dio lugar a estructuras más complejas como protones, neutrones, etc... su estudio puede y debe arrojar luz nueva sobre las propiedades ya conocidas y por conocer (de la fuerza fuerte o de color, sobre todo).

En el CERN sólo tardaron 4 días, desde el 4 de Noviembre en vaciar de protones el circuito y llenarlo de iones de plomo. Conseguir que circule primero un haz, ajustarlo todo de nuevo, y después con dos haces a la vez girando en sentido inverso. Parece sencillo, pero sólo colimar (enfocar) un haz de partículas con 82 veces más carga y que tiende a "abrirse" y separase, pone prueba a los imanes superconductores de todo el circuito...

Por no hablar de los detectores, que hay que ajustar para que resistan estas energías y procesen la gigantesca cantidad de nuevos productos de tal colisión: si el choque de dos protones es mucho más complejo que dos electrones, porque son sistemas compuestos (de tres quarks, más la maraña de gluones que los unen, más mucha energía de movimiento interna), imaginaros un núcleo de PLOMO con 204 partículas como el protón (más de la mitad de ellos neutrones) más sus interrelaciones...

En la imagen un choque en el detector ALICE (A Large Ion Collider Experiment), observar que cantidad de nuevos subproductos tras el choque...

Y la pena: en unos días lo desmontan y se parará hasta febrero del 2010, cuando deben empezar a chocar de verdad otra vez con protones...

Técnicamente es un avance... pero como os decía de nuevo la noticia en el CERN parece ser ¡que no hay noticias! Y que todo va según lo previsto....¿no os parece poco?

Un saludo

Francisco Jose Menchen

ELEMENS by Francisco Jose Menchen Caballero: La Criba de Eratóstenes y La Llave de Oro

ELEMENS by Francisco Jose Menchen Caballero: La Criba de Eratóstenes y La Llave de Oro

El Algebra, Capitulo I: La Cosa y el Cuadrado

Hola Elementales,

Vamos a comenzar una serie que pude llevarnos muchas entradas... de hecho aún se está escribiendo y como toda disciplina está viva y continúa en constante  investigación.

Los Babilonios y Egipcios ya sabían resolver problemas complejos...

El álgebra como tal podemos decir que entró en Europa a través del mundo árabe, quienes a su vez lo heredaron desde el mundo clásico griego. Ya en la Grecia  Clásica sabían planear y resolver ecuaciones, sistemas de ecuaciones de dos incógnitas tanto para números racionales (recordar que no admitían aún a los irracionales), como para Naturales ( ecuaciones diofánticas , la base de la moderna Teoría de Números). No vamos a repasar toda la historia del Álgebra, no es ese el objeto de esta página, si no entender qué es y qué pretende. Pero diremos que ha habido muchos y grandes pensadores en el mundo antiguo como: Euclides (más bien geómetra), Pitágoras , Diofanto de Alejandría (considerado el padre del Algegra), Proclo , Papo , etc...

La palabra "álgebra" es el nombre de la palabra árabe "Al-Jabr, الجبر" que significa "reducción". Si Diofanto es el padre antiguo, el matemático persa islámico, Muhammad ibn Musa Al-Khwārizmī es considerado así  mismo el siguiente "padre del álgebra" (de ahí viene el nombre de "algoritmo").

Los persas Omar Khayyam, Sharaf Al-Din al-Tusi y Al-Karaji encontraron respectivamente la solución geométrica de la ecuación cúbica, y la solución numérica y algebraica de diversos casos de ecuaciones cúbicas (éste último también alguna cuártica, quíntica, etc...). 

Los matemáticos indios Mahavirá y Bhaskara II,  y el matemático chino Zhu Shijie, resolvieron varios casos de ecuaciones cúbicas, de grado cuarto, quinto y ecuaciones polinómicas de orden superior mediante métodos numéricos. La matemática china estaba muy desarrollada en Teoría Numérica.

Hasta que los cuadernos de problemas de Diofanto cayeron en manos de Pierre de Fermat ... (pero esta ya es otra historia a la que llegaremos en otra entrada...sólo adelantar que Fermat iba resolviéndolos con anotaciones sobre el propio libro...incluido el famoso "Último Teorema de Fermat")

El álgebra trata de generalizar problemas... en vez de realizar operaciones con números como la aritmética empezó a generalizar los resultados con letras...

El verdadero avance del álgebra consiste en generalizar hasta el propio "método": en desarrollar conocimiento que permita abordar y resolver con certeza problemas que antes eran de "idea feliz", un ejercicio enorme de ingenio. Hasta no hace mucho había problemas que se habían resuelto de forma tan audaz que podría decirse que son un verdadero monumento al pensamiento matemático. Pero al igual que los problemas de análisis se resolvían antes así: con ocurrencias felices con tangentes ... hasta que se inventó y desarrolló el calculo infinitesimal, que resolvía de una forma sistemática todos los problemas de ese tipo...el álgebra también avanzó, sobre todo en el siglo XIX y XX.

Vamos a ver una historia increíble: con mucho ingenio se sabían resolver todas las ecuaciones de segundo grado, de tercer grado y algunas de las otras pero no todas... ¿había una solución algebraica para ecuaciones por encima de la cúbica? ¿una fórmula como las otras? ¿o simplemente aún no los habíamos encontrado?

Veamos primero la ecuación de segundo grado:

Seguro que todos visteis la formula que la soluciona en lo que antes era la enseñanza obligatoria básica y/o se repasó seguro en bachillerato o enseñanza secundaria, pero ¿de dónde sale? :

Veamos cómo solucionarla sólo con un poco de ingenio: Quiero quitar términos con la x elevada a uno y a dos. ¿Alguien sabe que fórmula relaciona términos así? Sí, el cuadrado de una suma por ejemplo. Así que haremos lo siguiente, una pequeña argucia, multiplico ambos lados de la igualdad por 4 (4 por 0 es 0, así que el otro lado queda igual).

Ahora añadimos b^2 (al cuadrado) a ambos lados de la ecuación, la segunda argucia:

Ahora, ¿alguien ve ya el cuadrado de una suma? ¿no? veamos

 (cuadrado del primero: 4x^2 mas cuadrado del segundo b^2 más dos veces uno por el otro 4bx) y pasamos el 4c que nos sobra al otro lado cambiando el signo.

Despejamos el cuadrado del paréntesis extrayendo la raíz cuadrada a ambos lados... pero hay que recordar que debemos poner dos signos: más y menos, porque ambas soluciones al cuadrado dan lugar al mismo resultado. Y pasamos b al lado derecho, con signo menos.

Ahora despejamos el dos, que pasa al otro lado dividiendo a todo lo que hay en ese lado:

Bueno, ¿no era tan difícil verdad?¿o sí? ¿a cuantos se les habría ocurrido hacer esto en un examen? Necesitaríamos un día inspirado.

La ecuación de segundo grado siempre tiene dos soluciones... aunque no siempre son reales..pero siempre hay dos soluciones complejas... la interpretación geométrica es simple, es el corte de una parábola con el eje x (y=0):

Dos soluciones reales (x=-1 y x=2)

El corte de una parábola con el eje x, si lo corta en dos puntos tenemos dos soluciones reales...

Solución única real doble (x=2 y x=2)

 Un caso especial es que sean una raíz real doble.

Solución doble compleja (x=i, x=-i) 

Si la parábola mira abierta hacia arriba y el vértice está por encima del eje X, no lo corta nunca (dos soluciones complejas siempre conjugadas, misma parte real y compleja con signos opuestos).Ídem si mira hacia abajo y esta por debajo del eje...

Tenemos así un discriminate

Dependiendo del signo tenemos uno de los dos casos... soluciones reales o complejas.

El álgebra al principio se apoyaba mucho en la geometría. Así la interpretación geométrica del cuadrado de una suma (empleado arriba) es ésta:  

Cuadrado de una suma

Como vemos hasta ahora el instinto geométrico nos ha guiado bien...en dos dimensiones, pero nos sirve sólo hasta las tres a las que estamos acostumbrados...

La resolución de la ecuación cúbica requiere mucho más ingenio y paciencia...

La vemos la semana que viene....

Un abrazo Elementales



Francisco Jose Menchen