El Problema de Basilea

¡Hola Elementales!

En nuestra anterior entrada os prometí contar cómo el jovencísimo Euler con tan sólo 27 años consiguió el valor exacto de la famosa serie de la inversa de los cuadrados... el "Problema de Basilea".

Durante todo el siglo XVII se habían puesto de moda entre los matemáticos más afamados la resolución de series y sumas infinitas, sobre todo las más simbólicas:

Antes de ver el objeto de nuestro artículo permitidme que me repare antes en la resolución de otra serie igualmente famosa, y que le dió fama instantánea a otro jóven genio: Leibniz.

El joven Leibniz se dio a conocer en París (donde fué enviado con tan sólo 24 años como diplomático, puesto en el que permaneció durante 4 años)al resolver de un modo muy ingenioso "la suma del inverso de los números triangulares":

Los números triangulares son como su nombre indica


n=1, Sn=1
n=2, Sn=1+2=3
n=3, Sn=1+2+3=6
n=4, Sn=1+2+3+4=10
n=5, Sn=1+2+3+4+5=15
n=6, Sn=1+2+3+4+5+6=21

Ya te habrás dado cuenta de que cada nuevo numero triangular se obtiene sumando al anterior la nueva fila, cada numero triangular es la suma de los números colocados en triángulo, así el primer número es sólo la suma de una fila con un elemento: 1, el segundo es la suma de dos filas, la primera con un elemento y la segunda con dos números (1+2=3), el tercer número 1+2+3=6, y así sucesivamente. La fórmula es recursiva: cada número se calcula muy bien conociendo los anteriores... pero si queremos calcular uno muy grande sin tener que calcular todos los anteriores...¿cuál es la fórmula del término n?

El profesor de Gauss siendo un niño de primaria tenía un truco para estar un buen rato tranquilo sin que le molestaran sus alumnos: les mandaba a todos los colegiales calcular el número triangular número 100. Gauss entregó su tablilla al profesor tan sólo unos segundos después de que éste propusiera el problema, dejando como era costumbre su tablilla sobre la mesa del profesor puesta boca a bajo, y éste montó en cólera y le acusó de haber mirado la solución fisgando en su cajón. Pero no lo había hecho, simplemente no había realizado 100 sumas, sólo una operación más sencilla:

Por ejemplo:

El profesor de Gauss una vez éste le explicó cómo lo había hecho se convenció de tener un niño con unas capacidades increíbles para las matemáticas: no se equivocó, e hizo cuanto pudo para conseguir desarrollar dichas capacidades y cuando vio que ya no podía enseñarle más, recomendarle efusivamente para que continuara estudiando.

Huygens, quien se hizo famoso por su modelo ondulatorio de la luz, era una auténtica enciclopedia viviente matemática. Holandés de fama legendaria estaba en la Academia de las Ciencias de París (a la sazón recientemente creada). Leibniz quería aprender matemáticas (ya que su formación había sido más bien lenguas clásicas, derecho y filosofía), y acudió a Huygens. Antes de admitirle como alumno le propuso una especie de examen para ver si tenía actitudes. Le propuso calcular la Serie Triangular o de los inversos de los Números Triangulares:

Él aún no sabía demasiado de matemáticas pero al igual que Gauss tenía unas facultades innatas para las matemáticas. Leibniz se hizo famoso por calcular diferencias entre términos de una sucesión, y series de diferencias y su Triángulo característico.

En este caso la idea genial fue ésta: viendo el término general y si nos olvidamos del 2, se dio cuenta de que:

Si expresamos cada término usando esta fórmula, reescribimos la serie así:

¡Si ordenamos los paréntesis de otra forma vemos que todos los términos se anulan menos el primer uno!

¡La solución era 2!

Los genios ven de repente un enfoque nuevo desde el que abordar un problema, desde el cual es sencillo acometerlo... esta es la verdadera "garra por la que reconocemos a un león" como le dijeron a Newton en su día). Leibniz fue eclipsado en vida por la gran figura de Newton, en otra entrada hablaremos de ambos y de cómo ahora sabemos que ambos descubrieron de forma independiente el calculo infinitesimal (diferencial e integral además sabiendo que uno era la operación inversa de la otra). Mi opinión personal es que la idea de Leibniz fue mucho más potente, no sólo era una manera de anotar... de hecho su escuela es la que más fructificó.

f '(x) indica la derivada de la función f(x)

Indica aparentemente lo mismo pero se lee así "la derivada con respecto a x de la función f(x)", es muy potente: permite derivar también con respecto a otras variables, y aparece y se puede despejar dx, que se lee “diferencial de x” probablemente el concepto matemático más potente por derecho propio desde los tiempos de los Griegos, de hecho crea el cálculo infinitesimal o que hoy llamamos análisis. Newton se avergonzaba de “este truco para encontrar la verdad” y hasta que no encontraba una “verdadera demostración” al estilo de los Clásicos, puramente geométrica, no lo hacía público, lo utilizaba sólo para descubrir la solución y orientar sus investigaciones (algo así como un atajo para iluminar el camino...)

A Leibniz le debemos que, al contrario que Newton que prácticamente no tuvo grandes discípulos que brillaran tras él salvo Halley (porque hasta a sus alumnos ocultó su potente nuevo método de cálculo de “fluxiones” en buena medida), que extendiera y divulgara, fertilizara como una abeja polinizando toda Europa con sus ideas: era un gran viajero, muy abierto y comunicador.

Sus alumnos famosos fueron muchos: pero sin duda los más aventajados fueron los hermanos Bernulli, Jakop y Johanm. De la familia Bernulli ya hablaremos en otra entrada monográficamente, pero es fácil confundirlos porque además de estos dos hermanos continuó la saga y hubo más generaciones que se dedicaron con atino a las matemáticas y la física, el hijo de uno de ellos coincidió con Euler en San Petesburgo.

Los Bernulli vivían en Basilea (Suiza) y fueron profesores de matemáticas. La serie del inverso de los cuadrados estaba de moda en aquel momento. Y los Bernulli se dijeron que con el enfoque adecuado sería fácil abordarla, como lo fue la de los números triangulares. Pero pronto vieron que la cosa era claramente distinta, mucho más difícil:

Sn=1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ...

Se sabía el valor aproximado de la misma: pero se quería el exacto.
Euler adquirió pues fama en todo el mundo al resolverla de un modo que aún hoy deslumbra:

Cogió la serie de Taylor para la función seno:

Pensó que si es convergente con una suma de polinomios, también debería poder ser factorizable como cuando éstos son finitos: ¿dónde se anula la función seno? en x=0 y en todos los multiplos de π { ±π ±2π ±3π ±4π ±5π ±6π…}, suponiendo que se pueda factorizar con infinitos ceros... Tardó varios años en probar con rigor su demostración, que aún así publicó.

Como para todos y cada uno de los n tenemos que nπ es una raiz del polinomio, se cumple que:














Luego podemos escribirlo también así:





Dividiendo entre x en ambos términos (sen x)/x y en los factores anulo x y ajusto la cte que debe ser =1. Ya que:






Por polinomios sabemos que los términos de grado igual deben de tener coeficientes iguales.
Así el coeficiente de x al cuadrado coincide con el respectivo al otro lado:






Despejando en ambos queda que:

Así se tendía un puente entre el análisis y la series de números enteros...

¡Impresionante! ¿no?

En la proxima entrada hablaremos de los misteriosos Números de Bernulli, que tienen una íntima conexión con la función Zeta de Riemann (de hecho son valores de la misma para entradas enteras) aún no comprendida completamente.

Un abrazo Elementales

La Criba de Eratóstenes y La Llave de Oro

La fórmula que nos proporcione el número primo número n aún no se ha encontrado. El primer algoritmo para encontrar los números primos (del que se tenga constancia escrita) nos lo proporcionó el Griego Eratóstenes (200 a.C) el procedimiento es muy sencillo:

Sobre la tabla de todos los números naturales menos el número 1 (al ser trivial que cualquier numero es divisible por él) y el siguiente número no tachado (en este caso el 2) se escoge como un primo, y a continuación se empieza a tachar toda su tabla de multiplicar (4,6,8,10,12,14,16...) como muestra la figura1:
Una vez hecho esto (hasta el número que se desee, en este caso hasta el 200), se escoge el siguiente elemento no tachado como el siguiente primo, en este caso el 3, y se procede a tachar los elementos no tachados ya de su tabla, tal y como muestra la figura:


Repitiendo el proceso para el siguiente que es el 5,… y para el siguiente que sería el 7, 11, 13, y así sucesivamente

Como vemos es un procedimiento muy sencillo tanto para realizar a mano como muy fácilmente implementable en un ordenador. Siempre que se decida hacer hasta cierto número n. Por ejemplo, en la figura 2, está la tabla de números primos hasta n=1000. Los números tachados están en gris claro y los primos en negrita.

A simple vista se ve que es una distribución muy caprichosa (a estas escalas más aún). Entre los diez numeros anteriores a 100 hay sólo un primo (el 97), en cambio entre los 10 siguientes hay cuatro (101, 103, 107 y 109). Y así sucede hasta donde hemos podido comprobar con los más potentes ordenadores.

Otra propiedad que se ve a simple vista es que se van "espaciando" cada vez más: la distancia entre un primo y el siguiente si bien parece caprichosa no deja en promedio de aumentar. Hay un límite: se ha demostrado que entre n y 2n siempre hay al menos un número primo.

Se puede ver positivamente: siempre encontraremos un número primo a partir de un número n dado, por grande que n sea. La primera demostración de que hay infinitos números primos ya la dió Euclides en su Libro IX de los Elementos. La demostración como de costumbre parte del supuesto contrario: si tuviera un número limitado de números primos: p1, p2, p3, ...pk. Siempre podría crear un nuevo número multiplicando todos los primos y sumandole uno, que no sería divisible por ninguno de ellos y por tanto sería primo, lo cual es absurdo porque hemos dicho que ya no había más... luego su número no tiene fin.

O negativamente: Siempre podremos encontrar un intervalo de números de una longitud todo lo grande que queramos sin que haya un sólo número primo dentro en él, por grande que éste sea.

Otra pregunta muy natural y que surge de manera casi inmediata: ¿cuántos números primos hay hasta ese número n? En los casos de arriba con n=100, 200 y 1000, tenemos respectivamente π(100)=25, π(200)=46, π(1000)=168. Esto se conoce como función π(n) y se lee como Pi de n. Gauss fue el primero en ver con su “buen ojo” para las matemáticas que se aproximaba al n/log(n). La historia cuenta que los libros o cuadernos matemáticos de la época solían terminar con tablas de primos y de logaritmos, fue su intuición la que asoció ambas. Después afinó la función aún más con el logaritmo integral Li (una función que no tiene expresión algebraica propia o aún no se ha encontrado, es el área bajo la curva de la función logaritmo, o sea la integral definida bajo la misma desde 2 hasta infinito). De todo esto hablaremos en otra entrada.
Ya volveremos sobre el número de primos menores que un determinado número n, o lo que es casi los mismo la probabilidad de encontrar un número primo menor que n.

Vamos a ver como el siempre absolutamente genial Euler inventó una forma matemáticamente muy elegante de hacer la misma criba. Más tarde Riemann cogió esta fórmula casi olvidada ( o mejor camuflada entre la ingente cantidad de obra publicada por tan prolífico genio) y la extendió a los números complejos, (también la ajustó para que estuviera definida en todo el plano complejo en vez de sólo en el semiplano con Re(S)>1). La haremos pues con la variable S.

Partimos de la función Zeta ζ(S)

(1)

Tal y como vemos es la suma del inverso de todos los números naturales elevados a un mismo número S. Está definida para todos los números estrictamente mayores que 1, ya que en S=1 nos daría la serie armómica que es divergente. Si S=2 tenemos la famosa serie de la inversa de los cuadrados cuya resolución dio fama mundial al jóven Euler, por resolver el famoso “problema de Basilea” (de donde era original al igual que la familia Bernulli quienes acometieron el problema sin éxito al igual que todos los mejores matemáticso del momento) con tan sólo 28 años y demostró que:

ζ(2)= π^2/6

La demostración es una de mis favoritas, y la pondré al final. Lo mejor de todo es que no se molestó en demostrar que todos y cada uno de los pasos seguidos se podían dar con rigor, siguió su instinto e intuición y algún tiempo después dió una demostración rigurosa él mismo.

Multiplicamos la expresión (1) por (y obtenemos la tabla del 2 invertida):

(2)


Ahora viene la idea buena, restamos a la expresión (1) la expresión (2), o sea, a todos los números (invertidos) le restamos (tachamos) la tabla del 2 ,primer primo, (aunque todo invertido, pese a que ya no se diga en adelante). Y obtenemos la siguiente expresión:

(3)


Multiplicamos la expresión (3) por (el siguiente primo, o número no tachado, el tres):

(4)


Ahora le restamos a los que nos quedaban, expresión (3), la expresión (4) (como antes pero ahora restamos la tabla del 3) y obtenemos:

(5)


Repetimos el proceso para todos los primos… de esta manera los vamos pasando a la izquierda y vamos cribando, vamos tachando en la derecha hasta que sólo quedaría el uno (quedaría demostrar que la serie efectivamente converge a 1, pero hagamos como Euler en su día y avancemos...)



(6)

Despejando ζ(S) obtenemos:

(7)



Que puesto de una manera más cómoda y elegante:

Donde tenemos el producto de todos los términos recorriendo todos los números primos.

La idea es muy potente, aunque parezca sólo una manera más adecuada de expresar la idea de la Criba de Eratóstenes. Relaciona la suma de todos los números con el producto de todos los primos. Suma con producto, ¿alguien recuerda que herramienta matemática permite convertir multiplicaciones en sumas? Sí, el logaritmo de un producto es suma de logaritmos (antes de que hubiera calculadoras, las tablas de logaritmos permitían realizar una engorrosa multiplicación de dos números grandes en una siempre y cómoda suma, sin más que consultar las tablas). La idea intuitiva de Gauss parece que estaba en el aire…

En la siguiente entrega os contaré qué descubrió Riemann al pasarla al dominio complejo: Un fantástico paisaje se desplegó ante sus ojos (tal vez los más imaginativos que ha habido en toda la historia de la matemática para ver superficies y curvas en el espacio) con un enorme monte que emergió ante él subiendo hasta los cielos situado en S=1 (único punto en el que la función Zeta de Riemann se hace infinito).



¡Un saludo y FELIZ AÑO NUEVO Elementales!

PD. Poniendo los primeros números primos uno tras otro hasta n=1000 resulta la siguiente lista

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223,227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.

La distribucion de los números primos

Tal y como comentabamos, probablemente la sucesión de números más misteriosa en la historia de las matemáticas es la de los números primos. Desde tiempo inmemorial ha intrigado a los más grandes pensadores, aunque sólo algunos de ellos se han atrevido a acometerlos o a hacer público que lo estaban siquiera intentando. En matemáticas hay, o había, la mala costumbre de publicar únicamente los resultados completamente conseguidos y de una forma muy elegante y elaborada. Esta mala costumbre ha hecho, a mi juicio, un inmenso mal al avance de la misma.

Las ideas intuitivas, de personas con un profundo conocimiento o aptitud matemática, son enormemente valiosas y en la inmensa mayoría de los casos resultan acertadas. Son como una "iluminación repentina; son el "Eureka" tantas veces representado. La idea esencial suele ser sencilla y tras su exposición la mayoría del sector ya no puede dejar de ver lo que antes era oscuro e incomprensible: ¿cómo no lo vi yo mismo antes?.

Sin embargo, cuando se publica dicho descubrimiento, suele hacerse en una forma casi ilegible, a veces hasta para los colegas matemáticos más próximos. Mis frases más odiadas en libros matemáticos son: “como es evidente” (y no lo es en absoluto), o “el lector puede comprobar él mismo, o fácilmente que…” (y es casi imposible de llegar desde ese punto al siguiente), “dejo la demostración de este paso al lector”… en la inmensa mayoría de los casos lo que publican parece con miedo a que sea comprendido o plagiado.


Sirva de ejemplo la siguiente anécdota:
Grassmann gran matemático, prácticamente desconocido en su época, y profesor de enseñanza secundaria en lo que hoy es la Alemania en el siglo XIX, publicó un libro donde daba un paso más en el grado de abstracción, y prácticamente inventaba los espacios vectoriales como tales, como objetos matemáticos en sí mismos. Su libro no tuvo repercusión alguna. Dio lugar a frustrantes intentos de reconocimiento e incluso a demandas a posteriores publicaciones que reinventaban o redescubrían de nuevo el concepto algunos años más tarde. Esto es muy frecuente en Matemáticas, sin que haya plagio, parece que un tema está maduro, como en el aire, y es cuestión de tiempo que se concrete y publique en varios sitios a la vez. Citaremos una demanda al propio Cauchy ante la Academia Francesa (ya que le había enviado una copia antes), la negativa de Gauss de recibirle tras hojear el borrador que le envió, Kummer dijo del libro que “el material era bueno pero expresado de modo inadecuado” y el propio Möebius dijo que "ese libro es ilegible”. La idea era excelente, pero la forma de publicarla era “indigerible” hasta para personas del talento de las arriba mencionadas, ¡qué nos quedará a los simples mortales!

Me pregunto cuánta gente habrá abandonado las matemáticas por culpa de una demostración de este tipo. De esas que algún profesor puso un día en la pizarra sin haber introducido antes adecuadamente la idea principal, o explicado de forma didáctica en qué consistía. ¿O él mismo tampoco la tenía demasiado clara? Quiero pensar que sólo tenía una incapacidad para trasmitirla.
Hay datos y encuestas que indican que este exceso de rigor es a veces innecesario y suele además ir acompañado de una total carencia de texto alrededor que lo arrope. Como ejemplo citaremos que la mayor parte de los estudiantes de secundaría o de carreras técnicas pueden y saben calcular derivadas de funciones de gran dificultad, pero muchos de ellos reconocen sin rubor que no tienen ni idea de qué es lo que están realmente haciendo o en qué consiste verdaderamente una derivada.

Esa costumbre de "enseñar el edificio sólo cuando se han recogido los andamios" ha dejado en miles de hojas no publicadas, a lo largo de la historia de las matemáticas, ideas realmente muy originales y potentes. Muchísimos avances se han conseguido a partir de ideas que quedaron "a medias" a veces cientos de años antes hasta que se pudo continuar (quien sabe lo que hubiera sucedido de haberse conocido en su momento).



Euler supone una notable excepción, ya que publicó absolutamente todo en lo que trabajó, siendo el más prolífico matemático de toda la historia. Se está tratando de clasificar y publicar toda su obra en una gran colección, que se espera ocupe más de 80 volúmenes en total. De los cuales más de 50 corresponden a su obra impresa (publicada toda ella en latín) y el resto a sus papeles y borradores. Es my difícil en Matemáticas no tratar un tema sin decubrir que Euler ya lo estudió previamente y lo hizo avanzar. Su grandeza consistió, aparte de la brillantez y audacia de sus ideas y de su mente matemática más que preclara, en publicar todas sus investigaciones, aún sin haberlas culminado.

Para que tal error no me suceda, en un arranque de confianza en los lectores de este blog como testigos, y con una completa falta de “vergüenza escénica”, para admitir los fracasos o ideas desechadas, que las habrá. Hasta que vayamos acercándonos a algo cierto, si es que esto sucediere. Iré comentando cómo trato de aproximarme a la sucesión de los números primos.

En primer lugar, me planteé que si las mentes tan eminentes que han tratado de abordar el problema no lo han conseguido, seguro que no habrá que achacarlo a falta de tesón o método a su alcance. Casi siempre que un problema arduo se ha resuelto tras haber estado años o siglos estancado, pero no olvidado, ha sido gracias a una idea audaz, un cambio en la perspectiva desde la que se le había estado enfocado hasta ese momento. Este nuevo punto de vista suele ser revolucionario y, o bien crea toda una rama nueva de las matemáticas, o bien establece conexiones entre áreas que previamente estaban totalmente alejadas y sin relación. A veces es el fruto de esa fusión y no su causa, y así, tras unir áreas previamente distantes, aparecen soluciones casi automáticas a problemas clásicos en cada una de ellas.

Se necesitan pues ideas totalmente nuevas, aunque a priori puedan parecer absurdas, para atacar a los números primos. La fórmula, si la hay, no aparecerá sola, antes deben de llegar los conceptos, la imagen mental, y después le daremos aspecto formal.

Al igual que hubo ecuaciones y problemas que sólo pudieron resolverse gracias al descubrimiento de los números complejos, ¿no podrían los números primos tener un equivalente o sombra que sea a los mismos lo que a los Reales los Complejos? ¿No se habrá ya intentado generalizar su definición? Para casi todas las ideas buenas, en matemáticas como en cualquier otro aéra, es difícil que no se le haya ocurrido a alguien antes o alguien haya pensado o intentado resolver ese mismo problema con anterioridad. Gauss intentó buscar números primos en los Complejos y se desalentó al comprobar que no eran de Factorización Única. Dado el plano complejo clásico de dos dimensiones ¿cómo definiríamos un número primo? ¿No podría haber más de una nueva definición?.

· Numéricamente: un número es primo si no es divisible por ningún otro número salvo por él mismo y la unidad.

· ¿Qué sería si fueran primos cada una de sus componentes u ordenadas? ¿Y/O si es primo su módulo?.

Para ir desarrollando la idea, me puse a buscar números enteros y primos en las “Ternas Pitagóricas” o sea, números enteros que cumplen el Teorema de Pitágoras. La más sencilla de las cuales es (3,4,5). Aquí vemos que hay dos primos uno en una componente y otro en el módulo. En posteriores publicaciones haré un monográfico dedicado a ellas, ya se sabe encontrar todas.

Después pensé en tres dimensiones:

· ¿Podrían ser enteros los tres lados de un paralelepípedo? ¿Y su diagonal? ¿Y de esos cuantos podrían ser primos? De nuevo se me había adelantado alguien, Euler con su Caja de Euler o Mágica, un cuboide con lados perpendiculares cuyos lados son todos números enteros , así como las diagonales de sus lados. Una de ellas por ejemplo es la que tiene de lados 240, 117, 44 y en este caso las diagonales de cada cara miden 267, 244 y 125 .
Hay ecuaciones paramétricas que encuentran algunas (pero no todas).

· Si además la diagonal principal también es un entero sería una “Caja Perfecta” . El "Cuboide Perfecto" sería en el que tanto los lados, las diagonales laterales y la diagonal principal son todos enteros. Se trata de un problema abierto en matemáticas y todavía no se ha encontrado ninguna (con potentes ordenadores se ha llegado hasta lados de algo más de 4 billones sin éxito), ni se ha demostrado que no existen.

· Lo que yo buscaba en un primer momento sí existe, sólo enteros los lados y la diagonal principal. Por ejemplo una caja de lados 672,153,104 y cuya diagonal principal también es entera 697. Nótese que en este caso ninguno es un número primo.

Este razonamiento se podría generalizar para más dimensiones 4, 5, …, N o ¿por qué no? infinitas ...

Para investigar en las ternas Pitagóricas y en las Cajas de Euler me hice una pequeña macro (programita en Visual Basic) para calcular todos los datos, con un lado de hasta 1500, filtré los enteros y descarté las figuras semejantes (si multiplico todas las caras por otro entero obtengo la misma terna a escala y no una nueva). En la siguiente entrada os daré más datos….

¡Un saludo Elementales!