La Criba de Eratóstenes y La Llave de Oro

La fórmula que nos proporcione el número primo número n aún no se ha encontrado. El primer algoritmo para encontrar los números primos (del que se tenga constancia escrita) nos lo proporcionó el Griego Eratóstenes (200 a.C) el procedimiento es muy sencillo:

Sobre la tabla de todos los números naturales menos el número 1 (al ser trivial que cualquier numero es divisible por él) y el siguiente número no tachado (en este caso el 2) se escoge como un primo, y a continuación se empieza a tachar toda su tabla de multiplicar (4,6,8,10,12,14,16...) como muestra la figura1:
Una vez hecho esto (hasta el número que se desee, en este caso hasta el 200), se escoge el siguiente elemento no tachado como el siguiente primo, en este caso el 3, y se procede a tachar los elementos no tachados ya de su tabla, tal y como muestra la figura:


Repitiendo el proceso para el siguiente que es el 5,… y para el siguiente que sería el 7, 11, 13, y así sucesivamente

Como vemos es un procedimiento muy sencillo tanto para realizar a mano como muy fácilmente implementable en un ordenador. Siempre que se decida hacer hasta cierto número n. Por ejemplo, en la figura 2, está la tabla de números primos hasta n=1000. Los números tachados están en gris claro y los primos en negrita.

A simple vista se ve que es una distribución muy caprichosa (a estas escalas más aún). Entre los diez numeros anteriores a 100 hay sólo un primo (el 97), en cambio entre los 10 siguientes hay cuatro (101, 103, 107 y 109). Y así sucede hasta donde hemos podido comprobar con los más potentes ordenadores.

Otra propiedad que se ve a simple vista es que se van "espaciando" cada vez más: la distancia entre un primo y el siguiente si bien parece caprichosa no deja en promedio de aumentar. Hay un límite: se ha demostrado que entre n y 2n siempre hay al menos un número primo.

Se puede ver positivamente: siempre encontraremos un número primo a partir de un número n dado, por grande que n sea. La primera demostración de que hay infinitos números primos ya la dió Euclides en su Libro IX de los Elementos. La demostración como de costumbre parte del supuesto contrario: si tuviera un número limitado de números primos: p1, p2, p3, ...pk. Siempre podría crear un nuevo número multiplicando todos los primos y sumandole uno, que no sería divisible por ninguno de ellos y por tanto sería primo, lo cual es absurdo porque hemos dicho que ya no había más... luego su número no tiene fin.

O negativamente: Siempre podremos encontrar un intervalo de números de una longitud todo lo grande que queramos sin que haya un sólo número primo dentro en él, por grande que éste sea.

Otra pregunta muy natural y que surge de manera casi inmediata: ¿cuántos números primos hay hasta ese número n? En los casos de arriba con n=100, 200 y 1000, tenemos respectivamente π(100)=25, π(200)=46, π(1000)=168. Esto se conoce como función π(n) y se lee como Pi de n. Gauss fue el primero en ver con su “buen ojo” para las matemáticas que se aproximaba al n/log(n). La historia cuenta que los libros o cuadernos matemáticos de la época solían terminar con tablas de primos y de logaritmos, fue su intuición la que asoció ambas. Después afinó la función aún más con el logaritmo integral Li (una función que no tiene expresión algebraica propia o aún no se ha encontrado, es el área bajo la curva de la función logaritmo, o sea la integral definida bajo la misma desde 2 hasta infinito). De todo esto hablaremos en otra entrada.
Ya volveremos sobre el número de primos menores que un determinado número n, o lo que es casi los mismo la probabilidad de encontrar un número primo menor que n.

Vamos a ver como el siempre absolutamente genial Euler inventó una forma matemáticamente muy elegante de hacer la misma criba. Más tarde Riemann cogió esta fórmula casi olvidada ( o mejor camuflada entre la ingente cantidad de obra publicada por tan prolífico genio) y la extendió a los números complejos, (también la ajustó para que estuviera definida en todo el plano complejo en vez de sólo en el semiplano con Re(S)>1). La haremos pues con la variable S.

Partimos de la función Zeta ζ(S)

(1)

Tal y como vemos es la suma del inverso de todos los números naturales elevados a un mismo número S. Está definida para todos los números estrictamente mayores que 1, ya que en S=1 nos daría la serie armómica que es divergente. Si S=2 tenemos la famosa serie de la inversa de los cuadrados cuya resolución dio fama mundial al jóven Euler, por resolver el famoso “problema de Basilea” (de donde era original al igual que la familia Bernulli quienes acometieron el problema sin éxito al igual que todos los mejores matemáticso del momento) con tan sólo 28 años y demostró que:

ζ(2)= π^2/6

La demostración es una de mis favoritas, y la pondré al final. Lo mejor de todo es que no se molestó en demostrar que todos y cada uno de los pasos seguidos se podían dar con rigor, siguió su instinto e intuición y algún tiempo después dió una demostración rigurosa él mismo.

Multiplicamos la expresión (1) por (y obtenemos la tabla del 2 invertida):

(2)


Ahora viene la idea buena, restamos a la expresión (1) la expresión (2), o sea, a todos los números (invertidos) le restamos (tachamos) la tabla del 2 ,primer primo, (aunque todo invertido, pese a que ya no se diga en adelante). Y obtenemos la siguiente expresión:

(3)


Multiplicamos la expresión (3) por (el siguiente primo, o número no tachado, el tres):

(4)


Ahora le restamos a los que nos quedaban, expresión (3), la expresión (4) (como antes pero ahora restamos la tabla del 3) y obtenemos:

(5)


Repetimos el proceso para todos los primos… de esta manera los vamos pasando a la izquierda y vamos cribando, vamos tachando en la derecha hasta que sólo quedaría el uno (quedaría demostrar que la serie efectivamente converge a 1, pero hagamos como Euler en su día y avancemos...)



(6)

Despejando ζ(S) obtenemos:

(7)



Que puesto de una manera más cómoda y elegante:

Donde tenemos el producto de todos los términos recorriendo todos los números primos.

La idea es muy potente, aunque parezca sólo una manera más adecuada de expresar la idea de la Criba de Eratóstenes. Relaciona la suma de todos los números con el producto de todos los primos. Suma con producto, ¿alguien recuerda que herramienta matemática permite convertir multiplicaciones en sumas? Sí, el logaritmo de un producto es suma de logaritmos (antes de que hubiera calculadoras, las tablas de logaritmos permitían realizar una engorrosa multiplicación de dos números grandes en una siempre y cómoda suma, sin más que consultar las tablas). La idea intuitiva de Gauss parece que estaba en el aire…

En la siguiente entrega os contaré qué descubrió Riemann al pasarla al dominio complejo: Un fantástico paisaje se desplegó ante sus ojos (tal vez los más imaginativos que ha habido en toda la historia de la matemática para ver superficies y curvas en el espacio) con un enorme monte que emergió ante él subiendo hasta los cielos situado en S=1 (único punto en el que la función Zeta de Riemann se hace infinito).



¡Un saludo y FELIZ AÑO NUEVO Elementales!

PD. Poniendo los primeros números primos uno tras otro hasta n=1000 resulta la siguiente lista

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223,227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.

La distribucion de los números primos

Tal y como comentabamos, probablemente la sucesión de números más misteriosa en la historia de las matemáticas es la de los números primos. Desde tiempo inmemorial ha intrigado a los más grandes pensadores, aunque sólo algunos de ellos se han atrevido a acometerlos o a hacer público que lo estaban siquiera intentando. En matemáticas hay, o había, la mala costumbre de publicar únicamente los resultados completamente conseguidos y de una forma muy elegante y elaborada. Esta mala costumbre ha hecho, a mi juicio, un inmenso mal al avance de la misma.

Las ideas intuitivas, de personas con un profundo conocimiento o aptitud matemática, son enormemente valiosas y en la inmensa mayoría de los casos resultan acertadas. Son como una "iluminación repentina; son el "Eureka" tantas veces representado. La idea esencial suele ser sencilla y tras su exposición la mayoría del sector ya no puede dejar de ver lo que antes era oscuro e incomprensible: ¿cómo no lo vi yo mismo antes?.

Sin embargo, cuando se publica dicho descubrimiento, suele hacerse en una forma casi ilegible, a veces hasta para los colegas matemáticos más próximos. Mis frases más odiadas en libros matemáticos son: “como es evidente” (y no lo es en absoluto), o “el lector puede comprobar él mismo, o fácilmente que…” (y es casi imposible de llegar desde ese punto al siguiente), “dejo la demostración de este paso al lector”… en la inmensa mayoría de los casos lo que publican parece con miedo a que sea comprendido o plagiado.


Sirva de ejemplo la siguiente anécdota:
Grassmann gran matemático, prácticamente desconocido en su época, y profesor de enseñanza secundaria en lo que hoy es la Alemania en el siglo XIX, publicó un libro donde daba un paso más en el grado de abstracción, y prácticamente inventaba los espacios vectoriales como tales, como objetos matemáticos en sí mismos. Su libro no tuvo repercusión alguna. Dio lugar a frustrantes intentos de reconocimiento e incluso a demandas a posteriores publicaciones que reinventaban o redescubrían de nuevo el concepto algunos años más tarde. Esto es muy frecuente en Matemáticas, sin que haya plagio, parece que un tema está maduro, como en el aire, y es cuestión de tiempo que se concrete y publique en varios sitios a la vez. Citaremos una demanda al propio Cauchy ante la Academia Francesa (ya que le había enviado una copia antes), la negativa de Gauss de recibirle tras hojear el borrador que le envió, Kummer dijo del libro que “el material era bueno pero expresado de modo inadecuado” y el propio Möebius dijo que "ese libro es ilegible”. La idea era excelente, pero la forma de publicarla era “indigerible” hasta para personas del talento de las arriba mencionadas, ¡qué nos quedará a los simples mortales!

Me pregunto cuánta gente habrá abandonado las matemáticas por culpa de una demostración de este tipo. De esas que algún profesor puso un día en la pizarra sin haber introducido antes adecuadamente la idea principal, o explicado de forma didáctica en qué consistía. ¿O él mismo tampoco la tenía demasiado clara? Quiero pensar que sólo tenía una incapacidad para trasmitirla.
Hay datos y encuestas que indican que este exceso de rigor es a veces innecesario y suele además ir acompañado de una total carencia de texto alrededor que lo arrope. Como ejemplo citaremos que la mayor parte de los estudiantes de secundaría o de carreras técnicas pueden y saben calcular derivadas de funciones de gran dificultad, pero muchos de ellos reconocen sin rubor que no tienen ni idea de qué es lo que están realmente haciendo o en qué consiste verdaderamente una derivada.

Esa costumbre de "enseñar el edificio sólo cuando se han recogido los andamios" ha dejado en miles de hojas no publicadas, a lo largo de la historia de las matemáticas, ideas realmente muy originales y potentes. Muchísimos avances se han conseguido a partir de ideas que quedaron "a medias" a veces cientos de años antes hasta que se pudo continuar (quien sabe lo que hubiera sucedido de haberse conocido en su momento).



Euler supone una notable excepción, ya que publicó absolutamente todo en lo que trabajó, siendo el más prolífico matemático de toda la historia. Se está tratando de clasificar y publicar toda su obra en una gran colección, que se espera ocupe más de 80 volúmenes en total. De los cuales más de 50 corresponden a su obra impresa (publicada toda ella en latín) y el resto a sus papeles y borradores. Es my difícil en Matemáticas no tratar un tema sin decubrir que Euler ya lo estudió previamente y lo hizo avanzar. Su grandeza consistió, aparte de la brillantez y audacia de sus ideas y de su mente matemática más que preclara, en publicar todas sus investigaciones, aún sin haberlas culminado.

Para que tal error no me suceda, en un arranque de confianza en los lectores de este blog como testigos, y con una completa falta de “vergüenza escénica”, para admitir los fracasos o ideas desechadas, que las habrá. Hasta que vayamos acercándonos a algo cierto, si es que esto sucediere. Iré comentando cómo trato de aproximarme a la sucesión de los números primos.

En primer lugar, me planteé que si las mentes tan eminentes que han tratado de abordar el problema no lo han conseguido, seguro que no habrá que achacarlo a falta de tesón o método a su alcance. Casi siempre que un problema arduo se ha resuelto tras haber estado años o siglos estancado, pero no olvidado, ha sido gracias a una idea audaz, un cambio en la perspectiva desde la que se le había estado enfocado hasta ese momento. Este nuevo punto de vista suele ser revolucionario y, o bien crea toda una rama nueva de las matemáticas, o bien establece conexiones entre áreas que previamente estaban totalmente alejadas y sin relación. A veces es el fruto de esa fusión y no su causa, y así, tras unir áreas previamente distantes, aparecen soluciones casi automáticas a problemas clásicos en cada una de ellas.

Se necesitan pues ideas totalmente nuevas, aunque a priori puedan parecer absurdas, para atacar a los números primos. La fórmula, si la hay, no aparecerá sola, antes deben de llegar los conceptos, la imagen mental, y después le daremos aspecto formal.

Al igual que hubo ecuaciones y problemas que sólo pudieron resolverse gracias al descubrimiento de los números complejos, ¿no podrían los números primos tener un equivalente o sombra que sea a los mismos lo que a los Reales los Complejos? ¿No se habrá ya intentado generalizar su definición? Para casi todas las ideas buenas, en matemáticas como en cualquier otro aéra, es difícil que no se le haya ocurrido a alguien antes o alguien haya pensado o intentado resolver ese mismo problema con anterioridad. Gauss intentó buscar números primos en los Complejos y se desalentó al comprobar que no eran de Factorización Única. Dado el plano complejo clásico de dos dimensiones ¿cómo definiríamos un número primo? ¿No podría haber más de una nueva definición?.

· Numéricamente: un número es primo si no es divisible por ningún otro número salvo por él mismo y la unidad.

· ¿Qué sería si fueran primos cada una de sus componentes u ordenadas? ¿Y/O si es primo su módulo?.

Para ir desarrollando la idea, me puse a buscar números enteros y primos en las “Ternas Pitagóricas” o sea, números enteros que cumplen el Teorema de Pitágoras. La más sencilla de las cuales es (3,4,5). Aquí vemos que hay dos primos uno en una componente y otro en el módulo. En posteriores publicaciones haré un monográfico dedicado a ellas, ya se sabe encontrar todas.

Después pensé en tres dimensiones:

· ¿Podrían ser enteros los tres lados de un paralelepípedo? ¿Y su diagonal? ¿Y de esos cuantos podrían ser primos? De nuevo se me había adelantado alguien, Euler con su Caja de Euler o Mágica, un cuboide con lados perpendiculares cuyos lados son todos números enteros , así como las diagonales de sus lados. Una de ellas por ejemplo es la que tiene de lados 240, 117, 44 y en este caso las diagonales de cada cara miden 267, 244 y 125 .
Hay ecuaciones paramétricas que encuentran algunas (pero no todas).

· Si además la diagonal principal también es un entero sería una “Caja Perfecta” . El "Cuboide Perfecto" sería en el que tanto los lados, las diagonales laterales y la diagonal principal son todos enteros. Se trata de un problema abierto en matemáticas y todavía no se ha encontrado ninguna (con potentes ordenadores se ha llegado hasta lados de algo más de 4 billones sin éxito), ni se ha demostrado que no existen.

· Lo que yo buscaba en un primer momento sí existe, sólo enteros los lados y la diagonal principal. Por ejemplo una caja de lados 672,153,104 y cuya diagonal principal también es entera 697. Nótese que en este caso ninguno es un número primo.

Este razonamiento se podría generalizar para más dimensiones 4, 5, …, N o ¿por qué no? infinitas ...

Para investigar en las ternas Pitagóricas y en las Cajas de Euler me hice una pequeña macro (programita en Visual Basic) para calcular todos los datos, con un lado de hasta 1500, filtré los enteros y descarté las figuras semejantes (si multiplico todas las caras por otro entero obtengo la misma terna a escala y no una nueva). En la siguiente entrada os daré más datos….

¡Un saludo Elementales!

Sobre la distribución de los números primos...

Actualmente, todo el edificio matemático sobre teoría de números descansa sobre la Hipótesis de Riemann , aún sin demostrar. La hipótesis relaciona la función zeta, con la cantidad exacta de números primos menores que una cantidad dada. Y más concretamente, asegura que todos los ceros de dicha función en el plano complejo se encuentran situados sobre la recta de valor real 1/2. Hasta donde se ha podido comprobar, con ayuda de los más potentes ordenadores actuales no se ha encontrado ni un sólo contraejemplo, adentrándose en el plano complejo hasta distancias astronómica (similares a las de la galaxia más lejana, si entre cada cero hubiera una distancia de tan sólo centímetros).

En una ciencia aplicada, eso supondría un éxito rotundo. Sería la teoría comprobada experimentalmente con éxito con la mayor exactitud jamás lograda. Pero en matemáticas eso no supone absolutamente nada: está tan lejos como los dos primeros ceros. Y máxime teniendo en cuenta que "los números primos muestran todo su caracter a distancias que nos estarán probablemente por siempre vedadas". (Hardy). Se precisa una demostración rigurosa.

El problema es tan arduo que diversas instuciones han propuesto premios muy atractivos (algunos como el Instituto Clay de un Millón de Dólares), por no hablar de la fama y gloria eterna que espera a quien lo consiga.

Hay que tener en cuanta además, que todo el sistema de criptografía y seguridad de transmisión de información actual, incluido todo el comercio electrónico mundial, se basa hoy en día en algoritmos que de un modo u otro factorizan números primos de enorme tamaño, tarea que a los ordenadores les resulta de una enorme complejidad computacional, y conforme avanzan en prestaciones sólo hay que ir aumentando el tamaño del número para que vuelva a ser inalcanzable.

Seguiré contando curiosidades e información de estas "joyas" o "ladrillos" de la matematica, ya que todos los números se generan a partir de ellos. Hoy me despediré contando que los chinos desde épocas muy remotas ya tenían un conocimiento muy avanzado sobre ellos y sobre teoría de números (la ley de reciprocidad cuadrática también es conocida por su equivalente "el teorema chino del resto"). Los chinos consideraban los números pares como femeninos, los impares como masculinos y de ellos (salvo el 2 claro) los números no primos se consideraban afeminados, debido al caracter a su juicio indomable y revelde de los primos.

La lista de los primeros números primos es:

2, 3, 5, 7, 11, 13 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, ....

¿Puedes predecir el siguiente ?

Curiosidades:

· Hay infinitos números "primos gemelos" emparejados, como el (3,5), (11,13), (17,19), o sea que entre ellos sólo dista un número par intermedio y su diferencia es 2.

(nota: el número 1 se considera primo sólo a efectos de algunas teorías más modernas generalizadas, pero no es un primo ya que todo número es divisible por sí mismo y por 1)