En nuestra anterior entrada os prometí contar cómo el jovencísimo Euler con tan sólo 27 años consiguió el valor exacto de la famosa serie de la inversa de los cuadrados... el "Problema de Basilea".
Durante todo el siglo XVII se habían puesto de moda entre los matemáticos más afamados la resolución de series y sumas infinitas, sobre todo las más simbólicas:
Antes de ver el objeto de nuestro artículo permitidme que me repare antes en la resolución de otra serie igualmente famosa, y que le dió fama instantánea a otro jóven genio: Leibniz.
El joven Leibniz se dio a conocer en París (donde fué enviado con tan sólo 24 años como diplomático, puesto en el que permaneció durante 4 años)al resolver de un modo muy ingenioso "la suma del inverso de los números triangulares":
Los números triangulares son como su nombre indica
n=1, Sn=1
n=2, Sn=1+2=3
n=3, Sn=1+2+3=6
n=4, Sn=1+2+3+4=10
n=5, Sn=1+2+3+4+5=15
n=6, Sn=1+2+3+4+5+6=21
Ya te habrás dado cuenta de que cada nuevo numero triangular se obtiene sumando al anterior la nueva fila, cada numero triangular es la suma de los números colocados en triángulo, así el primer número es sólo la suma de una fila con un elemento: 1, el segundo es la suma de dos filas, la primera con un elemento y la segunda con dos números (1+2=3), el tercer número 1+2+3=6, y así sucesivamente. La fórmula es recursiva: cada número se calcula muy bien conociendo los anteriores... pero si queremos calcular uno muy grande sin tener que calcular todos los anteriores...¿cuál es la fórmula del término n?
El profesor de Gauss siendo un niño de primaria tenía un truco para estar un buen rato tranquilo sin que le molestaran sus alumnos: les mandaba a todos los colegiales calcular el número triangular número 100. Gauss entregó su tablilla al profesor tan sólo unos segundos después de que éste propusiera el problema, dejando como era costumbre su tablilla sobre la mesa del profesor puesta boca a bajo, y éste montó en cólera y le acusó de haber mirado la solución fisgando en su cajón. Pero no lo había hecho, simplemente no había realizado 100 sumas, sólo una operación más sencilla:
Por ejemplo:
El profesor de Gauss una vez éste le explicó cómo lo había hecho se convenció de tener un niño con unas capacidades increíbles para las matemáticas: no se equivocó, e hizo cuanto pudo para conseguir desarrollar dichas capacidades y cuando vio que ya no podía enseñarle más, recomendarle efusivamente para que continuara estudiando.
Huygens, quien se hizo famoso por su modelo ondulatorio de la luz, era una auténtica enciclopedia viviente matemática. Holandés de fama legendaria estaba en la Academia de las Ciencias de París (a la sazón recientemente creada). Leibniz quería aprender matemáticas (ya que su formación había sido más bien lenguas clásicas, derecho y filosofía), y acudió a Huygens. Antes de admitirle como alumno le propuso una especie de examen para ver si tenía actitudes. Le propuso calcular la Serie Triangular o de los inversos de los Números Triangulares:
Huygens, quien se hizo famoso por su modelo ondulatorio de la luz, era una auténtica enciclopedia viviente matemática. Holandés de fama legendaria estaba en la Academia de las Ciencias de París (a la sazón recientemente creada). Leibniz quería aprender matemáticas (ya que su formación había sido más bien lenguas clásicas, derecho y filosofía), y acudió a Huygens. Antes de admitirle como alumno le propuso una especie de examen para ver si tenía actitudes. Le propuso calcular la Serie Triangular o de los inversos de los Números Triangulares:
Él aún no sabía demasiado de matemáticas pero al igual que Gauss tenía unas facultades innatas para las matemáticas. Leibniz se hizo famoso por calcular diferencias entre términos de una sucesión, y series de diferencias y su Triángulo característico.
En este caso la idea genial fue ésta: viendo el término general y si nos olvidamos del 2, se dio cuenta de que:
Si expresamos cada término usando esta fórmula, reescribimos la serie así:
¡Si ordenamos los paréntesis de otra forma vemos que todos los términos se anulan menos el primer uno!
¡La solución era 2!
Los genios ven de repente un enfoque nuevo desde el que abordar un problema, desde el cual es sencillo acometerlo... esta es la verdadera "garra por la que reconocemos a un león" como le dijeron a Newton en su día). Leibniz fue eclipsado en vida por la gran figura de Newton, en otra entrada hablaremos de ambos y de cómo ahora sabemos que ambos descubrieron de forma independiente el calculo infinitesimal (diferencial e integral además sabiendo que uno era la operación inversa de la otra). Mi opinión personal es que la idea de Leibniz fue mucho más potente, no sólo era una manera de anotar... de hecho su escuela es la que más fructificó.
f '(x) indica la derivada de la función f(x)
Indica aparentemente lo mismo pero se lee así "la derivada con respecto a x de la función f(x)", es muy potente: permite derivar también con respecto a otras variables, y aparece y se puede despejar dx, que se lee “diferencial de x” probablemente el concepto matemático más potente por derecho propio desde los tiempos de los Griegos, de hecho crea el cálculo infinitesimal o que hoy llamamos análisis. Newton se avergonzaba de “este truco para encontrar la verdad” y hasta que no encontraba una “verdadera demostración” al estilo de los Clásicos, puramente geométrica, no lo hacía público, lo utilizaba sólo para descubrir la solución y orientar sus investigaciones (algo así como un atajo para iluminar el camino...)
A Leibniz le debemos que, al contrario que Newton que prácticamente no tuvo grandes discípulos que brillaran tras él salvo Halley (porque hasta a sus alumnos ocultó su potente nuevo método de cálculo de “fluxiones” en buena medida), que extendiera y divulgara, fertilizara como una abeja polinizando toda Europa con sus ideas: era un gran viajero, muy abierto y comunicador.
Indica aparentemente lo mismo pero se lee así "la derivada con respecto a x de la función f(x)", es muy potente: permite derivar también con respecto a otras variables, y aparece y se puede despejar dx, que se lee “diferencial de x” probablemente el concepto matemático más potente por derecho propio desde los tiempos de los Griegos, de hecho crea el cálculo infinitesimal o que hoy llamamos análisis. Newton se avergonzaba de “este truco para encontrar la verdad” y hasta que no encontraba una “verdadera demostración” al estilo de los Clásicos, puramente geométrica, no lo hacía público, lo utilizaba sólo para descubrir la solución y orientar sus investigaciones (algo así como un atajo para iluminar el camino...)A Leibniz le debemos que, al contrario que Newton que prácticamente no tuvo grandes discípulos que brillaran tras él salvo Halley (porque hasta a sus alumnos ocultó su potente nuevo método de cálculo de “fluxiones” en buena medida), que extendiera y divulgara, fertilizara como una abeja polinizando toda Europa con sus ideas: era un gran viajero, muy abierto y comunicador.
Sus alumnos famosos fueron muchos: pero sin duda los más aventajados fueron los hermanos Bernulli, Jakop y Johanm. De la familia Bernulli ya hablaremos en otra entrada monográficamente, pero es fácil confundirlos porque además de estos dos hermanos continuó la saga y hubo más generaciones que se dedicaron con atino a las matemáticas y la física, el hijo de uno de ellos coincidió con Euler en San Petesburgo.
Los Bernulli vivían en Basilea (Suiza) y fueron profesores de matemáticas. La serie del inverso de los cuadrados estaba de moda en aquel momento. Y los Bernulli se dijeron que con el enfoque adecuado sería fácil abordarla, como lo fue la de los números triangulares. Pero pronto vieron que la cosa era claramente distinta, mucho más difícil:
Sn=1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ...
Sn=1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ...
Se sabía el valor aproximado de la misma: pero se quería el exacto.
Euler adquirió pues fama en todo el mundo al resolverla de un modo que aún hoy deslumbra:
Cogió la serie de Taylor para la función seno:
Pensó que si es convergente con una suma de polinomios, también debería poder ser factorizable como cuando éstos son finitos: ¿dónde se anula la función seno? en x=0 y en todos los multiplos de π { ±π ±2π ±3π ±4π ±5π ±6π…}, suponiendo que se pueda factorizar con infinitos ceros... Tardó varios años en probar con rigor su demostración, que aún así publicó.
Como para todos y cada uno de los n tenemos que nπ es una raiz del polinomio, se cumple que:
Luego podemos escribirlo también así:
Dividiendo entre x en ambos términos (sen x)/x y en los factores anulo x y ajusto la cte que debe ser =1. Ya que:
Por polinomios sabemos que los términos de grado igual deben de tener coeficientes iguales.
Así el coeficiente de x al cuadrado coincide con el respectivo al otro lado:
Despejando en ambos queda que:
Así se tendía un puente entre el análisis y la series de números enteros...
¡Impresionante! ¿no?
¡Impresionante! ¿no?
En la proxima entrada hablaremos de los misteriosos Números de Bernulli, que tienen una íntima conexión con la función Zeta de Riemann (de hecho son valores de la misma para entradas enteras) aún no comprendida completamente.
