Novedades en el mundo de la fisica de partículas

Se confirma que en el Fermilab el más potente acelerador del mundo en estos momentos, se acaban de encontrar quarks top completamente aislados, algo que se creía casi imposible. En la desintegración de un proton contra un antiproton este hecho sucede con una posibilidad de 1 frente a 20 billones, mediando la interaccion debil en vez de la fuerte como suele ser habitual.

Esto abre la puerta a buscar una particula Higgs aislada ya que encontrar los datos de un choque entre los restos de 20 billones es todo un reto tecnologico. ¡Enhorabuena para el equipo! ¿Sabeis por qué se creía que no podíamos ver un quark aislado?

En el Fermilab estaban comprobando y midiendo con precisión, las prediciones de las teorías actuales, buscando las particulas predichas y comprobando que ni falta ni sobra ninguna. Así hay que buscar todas las combinaciones con todos los quarks conocidos. Ahora se están buscando y se ha encontrado la más sencilla que faltaba constituida por dos quark estraños: ssu (dos estraños y uno up) y spin 1/2, falta la ssd (dos estraños y uno down) y sus versiones con todos los spines orientados en la misma direccion: 3/2 y por ultimo sólo una sss (tres estraños).

La materia normal esta constituida por protones (uud) neutrones (udd) en su configuracion de menor energia, esto es con los tres espines no totalmente alineados, uno de ellos en contrafase, resultando spin 1/2.

Hay que seguir buscando las formadas por quarks "encanto", "down" y "top".

http://www.fnal.gov/pub/presspass/images/Single-Top-Quark-2009.html

La interacción débil es la fuerza capaz de "cambiar de sabor" transmutar un tipo de quark en otro. Así en el Sol se quema hidrogeno para conseguir helio: dos protones se transforman en neutrones para conseguir el nucleo de helio que consta de dos protones y dos neutrones. Si para ello hay que mover carga, las partículas que portan la fuerza también transportan la carga: W+, W- y de las teorias surge una predicción que se encontró; las partículas Zo o de corriente neutra.

También se ha encontrado en otro experimento un exceso de muones (unos primos gordos de electrón, practicamente iguales pero mucho más pesados y de vida muy corta). Y tras mucho analizar sólo se les ha ocurrido que podría explicarse si un nuevo tipo de partícula muy masiva y neutra se hubiera creado, hubiera atravesado a una velocidad enorme el detector, sin dejar ni rastro y unos milimetros después se hubiera desintegrado en partículas menos masivas, hasta terminar de decaer en los muones.

De confirmarse, esta sería una de las noticias más excitantes de los últimos 10 años. Podría tratarse de una de las partículas que se están buscando como posibles costituyentes de la materia oscura (que "pesa" gravitatoriamente y podemos sentir los efectos de su masa, pero no la vemos porque no interactúa con la fuerza electromagnetica). Hay que repetir el experimento en alguna otra parte del mundo y diseñar un detector para este tipo de particulas.

También se ha encontrado por fin un eco en el detector de ondas gravitatorias GEO-600 (en Alemania) que no tiene aparente explicación. Los cientificos del Fermilab creen que encaja muy bien con las predicciones de un modelo del universo: el Universo Holografico. Se trata de una aplicación o proyeción de las ecuaciones (de una de las posibles teorias del todo), de la teoria supercuerdas sobre una superficie de contorno de nuestro Universo y las ecuaciones que se así obtienen resultan más sencillas de manejar con una dimensión menos, por ejemplo las de la interacción fuerte. ¿significa esta argucia o truco matemático que realmente nuestro universo tal cual lo vemos es una ilusión holográfica? ¿o no tiene sentido fiisico? ¿Que pensais elementales? Podeis verlo en Tendencias21 en este enlace:

http://www.tendencias21.net/Un-extrano-ruido-detectado-por-el-GEO-600-podria-probar-que-vivimos-en-un-holograma_a2996.html?com#last_comment

Ya decía que como tarde mucho en arrancar el LHC del CERN no van a quedar partículas por descubrir. Es broma esperemos que no se demore mucho. Se cree que para otoño de este año arranque de nuevo.

Un saludo Elementales


Fran

El Problema de Basilea

¡Hola Elementales!

En nuestra anterior entrada os prometí contar cómo el jovencísimo Euler con tan sólo 27 años consiguió el valor exacto de la famosa serie de la inversa de los cuadrados... el "Problema de Basilea".

Durante todo el siglo XVII se habían puesto de moda entre los matemáticos más afamados la resolución de series y sumas infinitas, sobre todo las más simbólicas:

Antes de ver el objeto de nuestro artículo permitidme que me repare antes en la resolución de otra serie igualmente famosa, y que le dió fama instantánea a otro jóven genio: Leibniz.

El joven Leibniz se dio a conocer en París (donde fué enviado con tan sólo 24 años como diplomático, puesto en el que permaneció durante 4 años)al resolver de un modo muy ingenioso "la suma del inverso de los números triangulares":

Los números triangulares son como su nombre indica


n=1, Sn=1
n=2, Sn=1+2=3
n=3, Sn=1+2+3=6
n=4, Sn=1+2+3+4=10
n=5, Sn=1+2+3+4+5=15
n=6, Sn=1+2+3+4+5+6=21

Ya te habrás dado cuenta de que cada nuevo numero triangular se obtiene sumando al anterior la nueva fila, cada numero triangular es la suma de los números colocados en triángulo, así el primer número es sólo la suma de una fila con un elemento: 1, el segundo es la suma de dos filas, la primera con un elemento y la segunda con dos números (1+2=3), el tercer número 1+2+3=6, y así sucesivamente. La fórmula es recursiva: cada número se calcula muy bien conociendo los anteriores... pero si queremos calcular uno muy grande sin tener que calcular todos los anteriores...¿cuál es la fórmula del término n?

El profesor de Gauss siendo un niño de primaria tenía un truco para estar un buen rato tranquilo sin que le molestaran sus alumnos: les mandaba a todos los colegiales calcular el número triangular número 100. Gauss entregó su tablilla al profesor tan sólo unos segundos después de que éste propusiera el problema, dejando como era costumbre su tablilla sobre la mesa del profesor puesta boca a bajo, y éste montó en cólera y le acusó de haber mirado la solución fisgando en su cajón. Pero no lo había hecho, simplemente no había realizado 100 sumas, sólo una operación más sencilla:

Por ejemplo:

El profesor de Gauss una vez éste le explicó cómo lo había hecho se convenció de tener un niño con unas capacidades increíbles para las matemáticas: no se equivocó, e hizo cuanto pudo para conseguir desarrollar dichas capacidades y cuando vio que ya no podía enseñarle más, recomendarle efusivamente para que continuara estudiando.

Huygens, quien se hizo famoso por su modelo ondulatorio de la luz, era una auténtica enciclopedia viviente matemática. Holandés de fama legendaria estaba en la Academia de las Ciencias de París (a la sazón recientemente creada). Leibniz quería aprender matemáticas (ya que su formación había sido más bien lenguas clásicas, derecho y filosofía), y acudió a Huygens. Antes de admitirle como alumno le propuso una especie de examen para ver si tenía actitudes. Le propuso calcular la Serie Triangular o de los inversos de los Números Triangulares:

Él aún no sabía demasiado de matemáticas pero al igual que Gauss tenía unas facultades innatas para las matemáticas. Leibniz se hizo famoso por calcular diferencias entre términos de una sucesión, y series de diferencias y su Triángulo característico.

En este caso la idea genial fue ésta: viendo el término general y si nos olvidamos del 2, se dio cuenta de que:

Si expresamos cada término usando esta fórmula, reescribimos la serie así:

¡Si ordenamos los paréntesis de otra forma vemos que todos los términos se anulan menos el primer uno!

¡La solución era 2!

Los genios ven de repente un enfoque nuevo desde el que abordar un problema, desde el cual es sencillo acometerlo... esta es la verdadera "garra por la que reconocemos a un león" como le dijeron a Newton en su día). Leibniz fue eclipsado en vida por la gran figura de Newton, en otra entrada hablaremos de ambos y de cómo ahora sabemos que ambos descubrieron de forma independiente el calculo infinitesimal (diferencial e integral además sabiendo que uno era la operación inversa de la otra). Mi opinión personal es que la idea de Leibniz fue mucho más potente, no sólo era una manera de anotar... de hecho su escuela es la que más fructificó.

f '(x) indica la derivada de la función f(x)

Indica aparentemente lo mismo pero se lee así "la derivada con respecto a x de la función f(x)", es muy potente: permite derivar también con respecto a otras variables, y aparece y se puede despejar dx, que se lee “diferencial de x” probablemente el concepto matemático más potente por derecho propio desde los tiempos de los Griegos, de hecho crea el cálculo infinitesimal o que hoy llamamos análisis. Newton se avergonzaba de “este truco para encontrar la verdad” y hasta que no encontraba una “verdadera demostración” al estilo de los Clásicos, puramente geométrica, no lo hacía público, lo utilizaba sólo para descubrir la solución y orientar sus investigaciones (algo así como un atajo para iluminar el camino...)

A Leibniz le debemos que, al contrario que Newton que prácticamente no tuvo grandes discípulos que brillaran tras él salvo Halley (porque hasta a sus alumnos ocultó su potente nuevo método de cálculo de “fluxiones” en buena medida), que extendiera y divulgara, fertilizara como una abeja polinizando toda Europa con sus ideas: era un gran viajero, muy abierto y comunicador.

Sus alumnos famosos fueron muchos: pero sin duda los más aventajados fueron los hermanos Bernulli, Jakop y Johanm. De la familia Bernulli ya hablaremos en otra entrada monográficamente, pero es fácil confundirlos porque además de estos dos hermanos continuó la saga y hubo más generaciones que se dedicaron con atino a las matemáticas y la física, el hijo de uno de ellos coincidió con Euler en San Petesburgo.

Los Bernulli vivían en Basilea (Suiza) y fueron profesores de matemáticas. La serie del inverso de los cuadrados estaba de moda en aquel momento. Y los Bernulli se dijeron que con el enfoque adecuado sería fácil abordarla, como lo fue la de los números triangulares. Pero pronto vieron que la cosa era claramente distinta, mucho más difícil:

Sn=1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ...

Se sabía el valor aproximado de la misma: pero se quería el exacto.
Euler adquirió pues fama en todo el mundo al resolverla de un modo que aún hoy deslumbra:

Cogió la serie de Taylor para la función seno:

Pensó que si es convergente con una suma de polinomios, también debería poder ser factorizable como cuando éstos son finitos: ¿dónde se anula la función seno? en x=0 y en todos los multiplos de π { ±π ±2π ±3π ±4π ±5π ±6π…}, suponiendo que se pueda factorizar con infinitos ceros... Tardó varios años en probar con rigor su demostración, que aún así publicó.

Como para todos y cada uno de los n tenemos que nπ es una raiz del polinomio, se cumple que:














Luego podemos escribirlo también así:





Dividiendo entre x en ambos términos (sen x)/x y en los factores anulo x y ajusto la cte que debe ser =1. Ya que:






Por polinomios sabemos que los términos de grado igual deben de tener coeficientes iguales.
Así el coeficiente de x al cuadrado coincide con el respectivo al otro lado:






Despejando en ambos queda que:

Así se tendía un puente entre el análisis y la series de números enteros...

¡Impresionante! ¿no?

En la proxima entrada hablaremos de los misteriosos Números de Bernulli, que tienen una íntima conexión con la función Zeta de Riemann (de hecho son valores de la misma para entradas enteras) aún no comprendida completamente.

Un abrazo Elementales

La Criba de Eratóstenes y La Llave de Oro

La fórmula que nos proporcione el número primo número n aún no se ha encontrado. El primer algoritmo para encontrar los números primos (del que se tenga constancia escrita) nos lo proporcionó el Griego Eratóstenes (200 a.C) el procedimiento es muy sencillo:

Sobre la tabla de todos los números naturales menos el número 1 (al ser trivial que cualquier numero es divisible por él) y el siguiente número no tachado (en este caso el 2) se escoge como un primo, y a continuación se empieza a tachar toda su tabla de multiplicar (4,6,8,10,12,14,16...) como muestra la figura1:
Una vez hecho esto (hasta el número que se desee, en este caso hasta el 200), se escoge el siguiente elemento no tachado como el siguiente primo, en este caso el 3, y se procede a tachar los elementos no tachados ya de su tabla, tal y como muestra la figura:


Repitiendo el proceso para el siguiente que es el 5,… y para el siguiente que sería el 7, 11, 13, y así sucesivamente

Como vemos es un procedimiento muy sencillo tanto para realizar a mano como muy fácilmente implementable en un ordenador. Siempre que se decida hacer hasta cierto número n. Por ejemplo, en la figura 2, está la tabla de números primos hasta n=1000. Los números tachados están en gris claro y los primos en negrita.

A simple vista se ve que es una distribución muy caprichosa (a estas escalas más aún). Entre los diez numeros anteriores a 100 hay sólo un primo (el 97), en cambio entre los 10 siguientes hay cuatro (101, 103, 107 y 109). Y así sucede hasta donde hemos podido comprobar con los más potentes ordenadores.

Otra propiedad que se ve a simple vista es que se van "espaciando" cada vez más: la distancia entre un primo y el siguiente si bien parece caprichosa no deja en promedio de aumentar. Hay un límite: se ha demostrado que entre n y 2n siempre hay al menos un número primo.

Se puede ver positivamente: siempre encontraremos un número primo a partir de un número n dado, por grande que n sea. La primera demostración de que hay infinitos números primos ya la dió Euclides en su Libro IX de los Elementos. La demostración como de costumbre parte del supuesto contrario: si tuviera un número limitado de números primos: p1, p2, p3, ...pk. Siempre podría crear un nuevo número multiplicando todos los primos y sumandole uno, que no sería divisible por ninguno de ellos y por tanto sería primo, lo cual es absurdo porque hemos dicho que ya no había más... luego su número no tiene fin.

O negativamente: Siempre podremos encontrar un intervalo de números de una longitud todo lo grande que queramos sin que haya un sólo número primo dentro en él, por grande que éste sea.

Otra pregunta muy natural y que surge de manera casi inmediata: ¿cuántos números primos hay hasta ese número n? En los casos de arriba con n=100, 200 y 1000, tenemos respectivamente π(100)=25, π(200)=46, π(1000)=168. Esto se conoce como función π(n) y se lee como Pi de n. Gauss fue el primero en ver con su “buen ojo” para las matemáticas que se aproximaba al n/log(n). La historia cuenta que los libros o cuadernos matemáticos de la época solían terminar con tablas de primos y de logaritmos, fue su intuición la que asoció ambas. Después afinó la función aún más con el logaritmo integral Li (una función que no tiene expresión algebraica propia o aún no se ha encontrado, es el área bajo la curva de la función logaritmo, o sea la integral definida bajo la misma desde 2 hasta infinito). De todo esto hablaremos en otra entrada.
Ya volveremos sobre el número de primos menores que un determinado número n, o lo que es casi los mismo la probabilidad de encontrar un número primo menor que n.

Vamos a ver como el siempre absolutamente genial Euler inventó una forma matemáticamente muy elegante de hacer la misma criba. Más tarde Riemann cogió esta fórmula casi olvidada ( o mejor camuflada entre la ingente cantidad de obra publicada por tan prolífico genio) y la extendió a los números complejos, (también la ajustó para que estuviera definida en todo el plano complejo en vez de sólo en el semiplano con Re(S)>1). La haremos pues con la variable S.

Partimos de la función Zeta ζ(S)

(1)

Tal y como vemos es la suma del inverso de todos los números naturales elevados a un mismo número S. Está definida para todos los números estrictamente mayores que 1, ya que en S=1 nos daría la serie armómica que es divergente. Si S=2 tenemos la famosa serie de la inversa de los cuadrados cuya resolución dio fama mundial al jóven Euler, por resolver el famoso “problema de Basilea” (de donde era original al igual que la familia Bernulli quienes acometieron el problema sin éxito al igual que todos los mejores matemáticso del momento) con tan sólo 28 años y demostró que:

ζ(2)= π^2/6

La demostración es una de mis favoritas, y la pondré al final. Lo mejor de todo es que no se molestó en demostrar que todos y cada uno de los pasos seguidos se podían dar con rigor, siguió su instinto e intuición y algún tiempo después dió una demostración rigurosa él mismo.

Multiplicamos la expresión (1) por (y obtenemos la tabla del 2 invertida):

(2)


Ahora viene la idea buena, restamos a la expresión (1) la expresión (2), o sea, a todos los números (invertidos) le restamos (tachamos) la tabla del 2 ,primer primo, (aunque todo invertido, pese a que ya no se diga en adelante). Y obtenemos la siguiente expresión:

(3)


Multiplicamos la expresión (3) por (el siguiente primo, o número no tachado, el tres):

(4)


Ahora le restamos a los que nos quedaban, expresión (3), la expresión (4) (como antes pero ahora restamos la tabla del 3) y obtenemos:

(5)


Repetimos el proceso para todos los primos… de esta manera los vamos pasando a la izquierda y vamos cribando, vamos tachando en la derecha hasta que sólo quedaría el uno (quedaría demostrar que la serie efectivamente converge a 1, pero hagamos como Euler en su día y avancemos...)



(6)

Despejando ζ(S) obtenemos:

(7)



Que puesto de una manera más cómoda y elegante:

Donde tenemos el producto de todos los términos recorriendo todos los números primos.

La idea es muy potente, aunque parezca sólo una manera más adecuada de expresar la idea de la Criba de Eratóstenes. Relaciona la suma de todos los números con el producto de todos los primos. Suma con producto, ¿alguien recuerda que herramienta matemática permite convertir multiplicaciones en sumas? Sí, el logaritmo de un producto es suma de logaritmos (antes de que hubiera calculadoras, las tablas de logaritmos permitían realizar una engorrosa multiplicación de dos números grandes en una siempre y cómoda suma, sin más que consultar las tablas). La idea intuitiva de Gauss parece que estaba en el aire…

En la siguiente entrega os contaré qué descubrió Riemann al pasarla al dominio complejo: Un fantástico paisaje se desplegó ante sus ojos (tal vez los más imaginativos que ha habido en toda la historia de la matemática para ver superficies y curvas en el espacio) con un enorme monte que emergió ante él subiendo hasta los cielos situado en S=1 (único punto en el que la función Zeta de Riemann se hace infinito).



¡Un saludo y FELIZ AÑO NUEVO Elementales!

PD. Poniendo los primeros números primos uno tras otro hasta n=1000 resulta la siguiente lista

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223,227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.

Se han entregado los premios Bitacoras.com

Hola Elementales,

Ya se han hecho publicos y ha tenido lugar la entrega de los premios Bitacoras.com que premian los blogs. El enlace ofical es Premios Bitacoras.com

Premio Mejor Blog Periodístico: 233grados.com
Premio Mejor Blog Tecnológico: Microsiervos
Premio Mejor Blog Cultural: El Blog Ausente
Premio Mejor Blog Político: Escolar.net
Premio Mejor Blog Personal: Hay Mujeres
Premio Mejor Blog de Negocios: Loogic.com
Premio Mejor Blog Deportivo: Deporte Acción
Premio Mejor Blog de Viajes: Kirai
Premio Mejor Blog de Humor: El Pito Doble
Premio Mejor Fotolog: Fotomaf
Premio Mejor Podcast: Tortilla de Patata
Premio Mejor Videoblog: Lost In Bilbao
Premio Mejor Blog Medioambiental: El Blog de Greenpeace España
Premio Microblogger del Año: @mmoroca
Premio Mejor Blog Revelación: Ayuda Wordpress
Premio Mejor Blog del Jurado: Generación Y
Premio Especial Honorífico: Mangas Verdes
Premio Mejor Blog del Público: Kafelog

¡Enhorabuena a todos los ganadores!

¡¡¡Y enhorabuena especialmente a Microsiervos!!! Por la magnífica labor de divulgación científica que viene haciendo desde hace tiempo. Es uno de los links recomendados que pusimos en ELEMENS desde el principio.

Ha habido otras candidaturas también muy queridas como Gaussianos a los que aprovecho para felicitar igualmente y dar ánimos, para seguir haciendolo tan bien como siempre e intentarlo de nuevo el año que viene.

A la organización de los premios Bitacora únicamente sugerirles que tal vez la divulgación científica merezca al menos un premio en sí misma, y no sólo compartida dentro de un saco tan grande como "tecnología", que a mi juicio es más bien ciencia aplicada o directamente inventos.
Ni que decir tiene que sería ideal un premio para cada gran área como Física, Matemáticas, Quimica, Biología, etc...

Un saludo Elementales

Los Cimientos Solidos de los Números

Durante la parte del siglo XVIII, todo el XIX y muy al comienzo del XX se intentó cimentar el edificio entero de las matemáticas “sobre roca sólida”. Se trataba en primer término de hacer una ciencia coherente, que no albergara paradojas ni contradicciones. El modelo que se escogió como más acertado fue el de los antiguos sabios Griegos el "axiomático": a partir de unos cuantos principios sencillos e irreducibles llamados "axiomas" y deduciendo con las reglas de la lógica se deberían poder obtener todos los demás contenidos de las matemáticas (teoremas, reglas, conocidas, ...). El sistema además debe definir también elementos con los que aplicar los axiomas.
La empresa era tremendamente ambiciosa, sobre todo teniendo en cuanta el enorme desarrollo que había tenido la matemática durante los últimos dos siglos en todas las direcciones: análisis, algebra, geometría, etc... Los matemáticos se habían arrojado entusiasmados a la más interesante tarea de explorar e investigar nuevos territorios, sin preocuparse demasiado de comprobar los límites seguros de los mismos ni sus fundamentos.

Al revisar el concepto más básico o primitivo de la matemática "el número" se intentó crear una teoría que clasificase y ordenase los números que ya se conocían. Los Naturales, los Negativos, los Racionales, los Irracionales, y los Imaginarios.

Los Números Naturales: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6....}

La idea intuitiva es muy sencilla: a partir de un primer número, la unidad, repitiéndolo o añadiéndolo a sí mismo se obtienen todos los demás. Con la unidad o primer número y una aplicación elemental se genera el conjunto de los números Naturales. Los axiomas de Peano dicen esto básicamente, aunque con el lenguaje más preciso de la Teoría de Conjuntos.

Con la inversa de la suma, el conjunto no es cerrado, puedo hacer una operación cuyo resultado no pertenezca al propio conjunto. Hay ecuaciones tan sencillas como 5 + x = 2, que no tienen solución dentro de N.

Los Números Enteros: Z = { ... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ... }

Los números negativos, a los que a lo largo de la historia se tardó más de lo esperado en aceptar como verdaderos números (y no sólo como un truco para resolver algún paso intermedio de un problema o ecuación), surgen de manera natural en contabilidad como la idea de "deuda" (se puede tener menos dinero que cero, puedo sumar algo que me reste el resultado...).
También pueden generarse a mi juicio a partir de una idea muy intuitiva: si siempre puedo preguntarme ¿cuál es el siguiente número?, a partir de uno dado, y siempre hay una respuesta, porque siempre hay un numero siguiente, ¿por qué no puedo preguntarme siempre cuál es el anterior? Respondiendo que sí se puede, nos resulta el conjunto de los números enteros.

En este caso la idea formal que escogieron para generarlos, renunció a la sencillez para poder generar este nuevo conjunto a partir del anterior, N, que ya estaba bien definido. Me parece una definición menos sencilla, más enrevesada, menos elegante. En lugar de definir un número de partida o singular, pongamos el 1 o el cero, y definir dos aplicaciones una que nos permita obtener el elemento siguiente a uno dado y otra (su inversa) que nos de el anterior... emplearon algo más elaborado: “la diferencia de dos números naturales” que a veces da un número positivo y a veces otro negativo generando todo Z. La idea se complica porque hay infinitos pares ordenados de números naturales cuya diferencia es la misma. Por ejemplo el número -3 surge de (5,8) o (4,7) o (21, 24).... así se define mediante una relación (R) desde N a NxN que finalmente genera Z.
El subconjunto de Z+ (todos los números mayores que el cero) resulta un isomorfismo con N (sus elementos no son de la misma naturaleza que N, pero con respecto a las operaciones básicas suma y multiplicación se comportan igual). Así de algún modo el conjunto de números naturales N está contenido en Z.

Los Números Racionales:

La división como operación inversa a la multiplicación genera nuevas dificultades al no ser siempre exacta, esto es no siempre al dividir dos números que pertenecen a N (o a Z) se da lugar a un resultado que pertenezca también a N (o a Z). Para poder realizar cualquier división, hubo que generar un conjunto nuevo Q formado por dos números a/b que generaba todos los anteriores (si b = 1 tenemos números enteros, o sea Z).
Al igual que con los pares ordenados que generaban Z, hay infinitos pares que pueden definir el mismo número Q como por ejemplo 1/2 , 2/4 , 3/6 , 4/8 , 5/10 ... Así pues, en este caso sí es evidente y una solución formalmente impecable y cercana a la intuición, mediante una Relación desde ZxZ* (el denominador no puede ser cero luego Z* = Z – {0}). Como en el caso de Z con N, Z resulta ser un isomorfismo de Q cuando el denominador es 1 (por ejemplo) y cualquier par relacionado equivalente.

También dan lugar al concepto de divisibilidad, factor, múltiplo y de manera natural se llega a "número primo" (no divisible por ningún otro número salvo él mismo o la unidad) o primos relativos (sin ningún factor común y, por tanto, no divisibles entre ellos). Al final un número de m/n perteneciente a Q se representa por la fracción p/q donde p y q son primos relativos ambos divisores de m y n respectivamente y la fracción es irreducible. En el ejemplo anterior ½.

Números Reales:

Números Irracionales:
Sorprendentemente, sobre todo para los antiguos griegos hay números que no se pueden conseguir como una división de otros dos dados, por grandes que estos sean. Para los antiguos pitagóricos fue un auténtico "trauma" una auténtica crisis: nunca superaron este descubrimiento. Que un número tan importante y omnipresente como π (pi) (presente en la proporción o razón entre la longitud de la circunferencia y su radio o su diámetro) no fuera "racional" fue algo que les hizo tambalear todo su edificio matemático y filosófico. Su representación aproximada es

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068...
(hay proyectos para seguir avanzando en el número de cifras de Pi y ya se han logrado trillones de ellas sin que se haya encontrado ninguna pauta que pueda indicar reiteración)

Hay infinidad de ellos, como la raíz cuadrada de 2. Su representación geométrica es muy sencilla, es la diagonal de un cuadrado de lado 1. Puede pintarse fácilmente y su longitud es por tanto finita, pero posee una cantidad de números decimales que no se acaba nunca, y lo que es más desconcertante, que no se repiten por mucho que avancemos.
Por el teorema de Pitágoras c^2=a^2+b^2, si a=b=1, c^2=2, luego c=
Se trata de otro número irracional, esto es no podemos expresarlo como la razón (el cociente de otros dos números). Su representación decimal aproximada con cifras:

1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641573...

La demostración de que no es racional es muy sencilla por reducción al absurdo.
Suponemos que sí hay un número Q (a/b) que al cuadrado da 2 y llegamos a un absurdo, luego la hipótesis de partida no era cierta y no existe tal número, luego es irracional.

(a/b)^2 = 2;
a^2 / b^2 = 2;
a^2= 2*b^2;

luego a^2 es un número par ya que es igual a 2 por otro número, y como el cuadrado de un número par también es un número par, podemos expresarlo así:
(2k)^2= 2*b^2;
4k^2= 2*b^2;
2k^2= b^2;

Se repite el argumento anterior, b^2 es un número par, luego tenemos que el cociente de dos números primos entre sí resulta ser el cociente de dos números pares, que por tanto serían algún factor común al menos el dos y no serían primos entre sí, y esto es absurdo.

Más delante surgieron números importantísimos en matemáticas superiores aunque no aparecen en nuestro día a día de forma tan evidente, como el número e (llamado así en honor de Euler, aunque también se le conoce como Constante de Neper en honor al matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo al cálculo matemático) al que al igual que π aparece constantemente por todas partes,

e=



El número e, al igual que el número π, es un número trascendente, es decir, que no puede ser obtenido directamente mediante la resolución de una ecuación algebraica. Por lo tanto, es un irracional y su valor exacto no puede ser expresado como un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos. Ambos números son los más importantes de las matemáticas junto con el 1 y el 0. Es curioso que Euler encontrara una fórmula que los relaciona:

Que se considera una de las más "bellas" en matemáticas.

Realmente sólo es un caso particular de la famosa Fórmula de Euler:





Donde al expresar en radianes los angulos 180º=π y por tanto el coseno vale -1 y el seno 0. Despejando al otro lado de la igualdad.

También se puede expresar como logaritmo en base e o

Otro número muy importante es gamma, la constante de Euler-Mascheroni, muy importante en teoría de números y también aparece de vez en cuando en otras áreas.

= lim (n->inf ) ( 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n - ln(n) )= 0.57721566490153286061 ...


Otro es Φ (Número "áureo") aprox 1,6180...


El número o razón aurea es un número muy importante presente en las proporciones de los seres vivos, aparece en la formula de crecimiento de poblaciones (se estudió la primera vez en conejos), y en la famosa sucesión de Fibonacci.

Cuya fórmula recursiva es muy sencilla: cada término es la suma de los dos anteriores. Definiendo los dos primeros: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ...

Pero su formula general (que da el termino n-ésimo sin calcular todos los anteriores) es sorprendente:

¿veis al número aureo? ¿de donde sale la raiz de 5? (un dia dedicaremos una entrada a estos números tan especiales...)


Añadiendo al conjunto de números Q los números "irracionales" se completa el continuo de la recta y se denomina a este nuevo conjunto R o de los números reales.

Números Complejos:

Desde hace muchísimo también se conocían ecuaciones muy sencillas sin resultado o con solución a su juicio absurda o no real, como x^2=a; que no tenía solución si "a" era negativa.

Ejemplo: x^2 = -4. No hay ningún número que al cuadrado de ese resultado pues 2 al cuadrado resulta 4 y (-2) al cuadrado también resulta 4, y no -4.

De algún modo las ecuaciones de este tipo cuadradas, cúbicas o de orden superior no siempre tenían solución. Costó muchísimo aceptarlo pero poco a poco se iba arrastrando ese resultado como valor "intermedio, útil pero sin sentido", como en la resolución de alguna cúbica. Finalmente se aceptó que se operara con la raiz de -1 y a fuerza de escribirlo se le llamó "i" (de imaginario). Como se comprobó que no estaban en la recta real porque estaba llena con los números R se plantearon que estos nuevos números no mezclaran la parte real con la imaginaria del tipo a+bi y se les llamó Complejos. Se representaron en un plano. Donde el eje horizontal fuera la recta real concocida y el eje vertical fuera otra recta (con todos los valores como la horizontal) pero multiplicada por el número i


Cuaterniones

Posteriormente (antes incluso que el desarrollo de los vectores) Mr Hamilton generalizó los números complejos a más dimensiones, hasta 4 (con 3 que era lo que él perseguía para un modelo de nuestro espacio que es de 3 dimensiones, no conseguía una estructura de álgebra) y los llamó Cuaterniones.

Su idea y fórmula genial i^2 = j^2 = k^2 = ijk =-1

Es una de las anécdotas más simpáticas de las matemáticas: tras varios días tratando de darle forma a sus ideas, le vino repentinamente a la cabeza la solución paseando un domingo por el parque con su esposa, y no teniendo donde escribir lo apuntó en un puente ... fue como el Eureka! Lo que escribió en el puente fue exactamente esa fórmula.

Aunque nos parezcan muy abstractos, más de un siglo después los números inventados por Mr. Hamilton son actualmente muy útiles en Física de partículas.





Numeros Hipercomplejos

Construidos mediante herramientas del álgebra abstracta, tales como cuaterniones, tesarines, cocuaterniones (4 los tres), octoniones, bicuaterniones (8 ambos) y sedeniones (16).

Números Hiperreales

Las últimos en llegar son los Números Hiperreales (hace apenas 30 años) que incluyen los números reales conocidos más los números infinitamente grandes y los muy pequeños (infinitésimos o diferenciales).

Ya desde Newton y Leibniz se empleaban infinitésimos sin que se considerara su uso algo demasiado riguroso...con complejo de “apaño” útil . Con Cauchy y Weistrasss y sus epsilones y deltas en la definición de límite empezaron a ser aceptandos....

Como vemos la necesidad de contar con rigor no tiene límite, salvo el de la propia imaginación del hombre o su capacidad para descubrir nuevos números, va en gustos,... ya dedicaremos otro artículo a este tema tan interesante como antiguo: ¿la matemática se inventa o se descubre?. La idea pitagórica o platónica de que los objetos matemáticos tienen existencia y entidad propia o por el contrario son una obra de la mente humana, un edificio del pensamiento de increíble belleza... ¿Si los dinosaurios hubieran sido lo bastante inteligentes hubieran descubierto las matemáticas? ¿Si hubiese vida Inteligente en otras partes del Universo tendrían matematicas como las nuestras? ¿Tu que opinas mi numérico amigo?


Saludos elementales