martes, 16 de septiembre de 2008

La distribucion de los números primos

Tal y como comentabamos, probablemente la sucesión de números más misteriosa en la historia de las matemáticas es la de los números primos. Desde tiempo inmemorial ha intrigado a los más grandes pensadores, aunque sólo algunos de ellos se han atrevido a acometerlos o a hacer público que lo estaban siquiera intentando. En matemáticas hay, o había, la mala costumbre de publicar únicamente los resultados completamente conseguidos y de una forma muy elegante y elaborada. Esta mala costumbre ha hecho, a mi juicio, un inmenso mal al avance de la misma.

Las ideas intuitivas, de personas con un profundo conocimiento o aptitud matemática, son enormemente valiosas y en la inmensa mayoría de los casos resultan acertadas. Son como una "iluminación repentina; son el "Eureka" tantas veces representado. La idea esencial suele ser sencilla y tras su exposición la mayoría del sector ya no puede dejar de ver lo que antes era oscuro e incomprensible: ¿cómo no lo vi yo mismo antes?.

Sin embargo, cuando se publica dicho descubrimiento, suele hacerse en una forma casi ilegible, a veces hasta para los colegas matemáticos más próximos. Mis frases más odiadas en libros matemáticos son: “como es evidente” (y no lo es en absoluto), o “el lector puede comprobar él mismo, o fácilmente que…” (y es casi imposible de llegar desde ese punto al siguiente), “dejo la demostración de este paso al lector”… en la inmensa mayoría de los casos lo que publican parece con miedo a que sea comprendido o plagiado.


Sirva de ejemplo la siguiente anécdota:
Grassmann gran matemático, prácticamente desconocido en su época, y profesor de enseñanza secundaria en lo que hoy es la Alemania en el siglo XIX, publicó un libro donde daba un paso más en el grado de abstracción, y prácticamente inventaba los espacios vectoriales como tales, como objetos matemáticos en sí mismos. Su libro no tuvo repercusión alguna. Dio lugar a frustrantes intentos de reconocimiento e incluso a demandas a posteriores publicaciones que reinventaban o redescubrían de nuevo el concepto algunos años más tarde. Esto es muy frecuente en Matemáticas, sin que haya plagio, parece que un tema está maduro, como en el aire, y es cuestión de tiempo que se concrete y publique en varios sitios a la vez. Citaremos una demanda al propio Cauchy ante la Academia Francesa (ya que le había enviado una copia antes), la negativa de Gauss de recibirle tras hojear el borrador que le envió, Kummer dijo del libro que “el material era bueno pero expresado de modo inadecuado” y el propio Möebius dijo que "ese libro es ilegible”. La idea era excelente, pero la forma de publicarla era “indigerible” hasta para personas del talento de las arriba mencionadas, ¡qué nos quedará a los simples mortales!

Me pregunto cuánta gente habrá abandonado las matemáticas por culpa de una demostración de este tipo. De esas que algún profesor puso un día en la pizarra sin haber introducido antes adecuadamente la idea principal, o explicado de forma didáctica en qué consistía. ¿O él mismo tampoco la tenía demasiado clara? Quiero pensar que sólo tenía una incapacidad para trasmitirla.
Hay datos y encuestas que indican que este exceso de rigor es a veces innecesario y suele además ir acompañado de una total carencia de texto alrededor que lo arrope. Como ejemplo citaremos que la mayor parte de los estudiantes de secundaría o de carreras técnicas pueden y saben calcular derivadas de funciones de gran dificultad, pero muchos de ellos reconocen sin rubor que no tienen ni idea de qué es lo que están realmente haciendo o en qué consiste verdaderamente una derivada.

Esa costumbre de "enseñar el edificio sólo cuando se han recogido los andamios" ha dejado en miles de hojas no publicadas, a lo largo de la historia de las matemáticas, ideas realmente muy originales y potentes. Muchísimos avances se han conseguido a partir de ideas que quedaron "a medias" a veces cientos de años antes hasta que se pudo continuar (quien sabe lo que hubiera sucedido de haberse conocido en su momento).



Euler supone una notable excepción, ya que publicó absolutamente todo en lo que trabajó, siendo el más prolífico matemático de toda la historia. Se está tratando de clasificar y publicar toda su obra en una gran colección, que se espera ocupe más de 80 volúmenes en total. De los cuales más de 50 corresponden a su obra impresa (publicada toda ella en latín) y el resto a sus papeles y borradores. Es my difícil en Matemáticas no tratar un tema sin decubrir que Euler ya lo estudió previamente y lo hizo avanzar. Su grandeza consistió, aparte de la brillantez y audacia de sus ideas y de su mente matemática más que preclara, en publicar todas sus investigaciones, aún sin haberlas culminado.

Para que tal error no me suceda, en un arranque de confianza en los lectores de este blog como testigos, y con una completa falta de “vergüenza escénica”, para admitir los fracasos o ideas desechadas, que las habrá. Hasta que vayamos acercándonos a algo cierto, si es que esto sucediere. Iré comentando cómo trato de aproximarme a la sucesión de los números primos.

En primer lugar, me planteé que si las mentes tan eminentes que han tratado de abordar el problema no lo han conseguido, seguro que no habrá que achacarlo a falta de tesón o método a su alcance. Casi siempre que un problema arduo se ha resuelto tras haber estado años o siglos estancado, pero no olvidado, ha sido gracias a una idea audaz, un cambio en la perspectiva desde la que se le había estado enfocado hasta ese momento. Este nuevo punto de vista suele ser revolucionario y, o bien crea toda una rama nueva de las matemáticas, o bien establece conexiones entre áreas que previamente estaban totalmente alejadas y sin relación. A veces es el fruto de esa fusión y no su causa, y así, tras unir áreas previamente distantes, aparecen soluciones casi automáticas a problemas clásicos en cada una de ellas.

Se necesitan pues ideas totalmente nuevas, aunque a priori puedan parecer absurdas, para atacar a los números primos. La fórmula, si la hay, no aparecerá sola, antes deben de llegar los conceptos, la imagen mental, y después le daremos aspecto formal.

Al igual que hubo ecuaciones y problemas que sólo pudieron resolverse gracias al descubrimiento de los números complejos, ¿no podrían los números primos tener un equivalente o sombra que sea a los mismos lo que a los Reales los Complejos? ¿No se habrá ya intentado generalizar su definición? Para casi todas las ideas buenas, en matemáticas como en cualquier otro aéra, es difícil que no se le haya ocurrido a alguien antes o alguien haya pensado o intentado resolver ese mismo problema con anterioridad. Gauss intentó buscar números primos en los Complejos y se desalentó al comprobar que no eran de Factorización Única. Dado el plano complejo clásico de dos dimensiones ¿cómo definiríamos un número primo? ¿No podría haber más de una nueva definición?.

· Numéricamente: un número es primo si no es divisible por ningún otro número salvo por él mismo y la unidad.

· ¿Qué sería si fueran primos cada una de sus componentes u ordenadas? ¿Y/O si es primo su módulo?.

Para ir desarrollando la idea, me puse a buscar números enteros y primos en las “Ternas Pitagóricas” o sea, números enteros que cumplen el Teorema de Pitágoras. La más sencilla de las cuales es (3,4,5). Aquí vemos que hay dos primos uno en una componente y otro en el módulo. En posteriores publicaciones haré un monográfico dedicado a ellas, ya se sabe encontrar todas.

Después pensé en tres dimensiones:

· ¿Podrían ser enteros los tres lados de un paralelepípedo? ¿Y su diagonal? ¿Y de esos cuantos podrían ser primos? De nuevo se me había adelantado alguien, Euler con su Caja de Euler o Mágica, un cuboide con lados perpendiculares cuyos lados son todos números enteros , así como las diagonales de sus lados. Una de ellas por ejemplo es la que tiene de lados 240, 117, 44 y en este caso las diagonales de cada cara miden 267, 244 y 125 .
Hay ecuaciones paramétricas que encuentran algunas (pero no todas).

· Si además la diagonal principal también es un entero sería una “Caja Perfecta” . El "Cuboide Perfecto" sería en el que tanto los lados, las diagonales laterales y la diagonal principal son todos enteros. Se trata de un problema abierto en matemáticas y todavía no se ha encontrado ninguna (con potentes ordenadores se ha llegado hasta lados de algo más de 4 billones sin éxito), ni se ha demostrado que no existen.

· Lo que yo buscaba en un primer momento sí existe, sólo enteros los lados y la diagonal principal. Por ejemplo una caja de lados 672,153,104 y cuya diagonal principal también es entera 697. Nótese que en este caso ninguno es un número primo.

Este razonamiento se podría generalizar para más dimensiones 4, 5, …, N o ¿por qué no? infinitas ...

Para investigar en las ternas Pitagóricas y en las Cajas de Euler me hice una pequeña macro (programita en Visual Basic) para calcular todos los datos, con un lado de hasta 1500, filtré los enteros y descarté las figuras semejantes (si multiplico todas las caras por otro entero obtengo la misma terna a escala y no una nueva). En la siguiente entrada os daré más datos….

¡Un saludo Elementales!