domingo, 14 de noviembre de 2010

El Algebra, Capitulo I: La Cosa y el Cuadrado

Hola Elementales,

Vamos a comenzar una serie que pude llevarnos muchas entradas... de hecho aún se está escribiendo y como toda disciplina está viva y continúa en constante  investigación.

Los Babilonios y Egipcios ya sabían resolver problemas complejos...
El álgebra como tal podemos decir que entró en Europa a través del mundo árabe, quienes a su vez lo heredaron desde el mundo clásico griego. Ya en la Grecia  Clásica sabían planear y resolver ecuaciones, sistemas de ecuaciones de dos incógnitas tanto para números racionales (recordar que no admitían aún a los irracionales), como para Naturales ( ecuaciones diofánticas , la base de la moderna Teoría de Números). No vamos a repasar toda la historia del Álgebra, no es ese el objeto de esta página, si no entender qué es y qué pretende. Pero diremos que ha habido muchos y grandes pensadores en el mundo antiguo como: Euclides (más bien geómetra), PitágorasDiofanto de Alejandría (considerado el padre del Algegra), Proclo , Papo , etc...
La palabra "álgebra" es el nombre de la palabra árabe "Al-Jabr, الجبر" que significa "reducción". Si Diofanto es el padre antiguo, el matemático persa islámico, Muhammad ibn Musa Al-Khwārizmī es considerado así  mismo el siguiente "padre del álgebra" (de ahí viene el nombre de "algoritmo").

Los persas Omar Khayyam, Sharaf Al-Din al-Tusi y Al-Karaji encontraron respectivamente la solución geométrica de la ecuación cúbica, y la solución numérica y algebraica de diversos casos de ecuaciones cúbicas (éste último también alguna cuártica, quíntica, etc...). 
Los matemáticos indios Mahavirá y Bhaskara II,  y el matemático chino Zhu Shijie, resolvieron varios casos de ecuaciones cúbicas, de grado cuarto, quinto y ecuaciones polinómicas de orden superior mediante métodos numéricos. La matemática china estaba muy desarrollada en Teoría Numérica.

Hasta que los cuadernos de problemas de Diofanto cayeron en manos de Pierre de Fermat ... (pero esta ya es otra historia a la que llegaremos en otra entrada...sólo adelantar que Fermat iba resolviéndolos con anotaciones sobre el propio libro...incluido el famoso "Último Teorema de Fermat")

El álgebra trata de generalizar problemas... en vez de realizar operaciones con números como la aritmética empezó a generalizar los resultados con letras...

El verdadero avance del álgebra consiste en generalizar hasta el propio "método": en desarrollar conocimiento que permita abordar y resolver con certeza problemas que antes eran de "idea feliz", un ejercicio enorme de ingenio. Hasta no hace mucho había problemas que se habían resuelto de forma tan audaz que podría decirse que son un verdadero monumento al pensamiento matemático. Pero al igual que los problemas de análisis se resolvían antes así: con ocurrencias felices con tangentes ... hasta que se inventó y desarrolló el calculo infinitesimal, que resolvía de una forma sistemática todos los problemas de ese tipo...el álgebra también avanzó, sobre todo en el siglo XIX y XX.

Vamos a ver una historia increíble: con mucho ingenio se sabían resolver todas las ecuaciones de segundo grado, de tercer grado y algunas de las otras pero no todas... ¿había una solución algebraica para ecuaciones por encima de la cúbica? ¿una fórmula como las otras? ¿o simplemente aún no los habíamos encontrado?

Veamos primero la ecuación de segundo grado:



Seguro que todos visteis la formula que la soluciona en lo que antes era la enseñanza obligatoria básica y/o se repasó seguro en bachillerato o enseñanza secundaria, pero ¿de dónde sale? :
Veamos cómo solucionarla sólo con un poco de ingenio: Quiero quitar términos con la x elevada a uno y a dos. ¿Alguien sabe que fórmula relaciona términos así? Sí, el cuadrado de una suma por ejemplo. Así que haremos lo siguiente, una pequeña argucia, multiplico ambos lados de la igualdad por 4 (4 por 0 es 0, así que el otro lado queda igual).
Ahora añadimos b^2 (al cuadrado) a ambos lados de la ecuación, la segunda argucia:


Ahora, ¿alguien ve ya el cuadrado de una suma? ¿no? veamos

 (cuadrado del primero: 4x^2 mas cuadrado del segundo b^2 más dos veces uno por el otro 4bx) y pasamos el 4c que nos sobra al otro lado cambiando el signo.

Despejamos el cuadrado del paréntesis extrayendo la raíz cuadrada a ambos lados... pero hay que recordar que debemos poner dos signos: más y menos, porque ambas soluciones al cuadrado dan lugar al mismo resultado. Y pasamos b al lado derecho, con signo menos.


Ahora despejamos el dos, que pasa al otro lado dividiendo a todo lo que hay en ese lado:


Bueno, ¿no era tan difícil verdad?¿o sí? ¿a cuantos se les habría ocurrido hacer esto en un examen? Necesitaríamos un día inspirado.

La ecuación de segundo grado siempre tiene dos soluciones... aunque no siempre son reales..pero siempre hay dos soluciones complejas... la interpretación geométrica es simple, es el corte de una parábola con el eje x (y=0):

Dos soluciones reales (x=-1 y x=2)
El corte de una parábola con el eje x, si lo corta en dos puntos tenemos dos soluciones reales...

Solución única real doble (x=2 y x=2)
 Un caso especial es que sean una raíz real doble.

Solución doble compleja (x=i, x=-i) 
Si la parábola mira abierta hacia arriba y el vértice está por encima del eje X, no lo corta nunca (dos soluciones complejas siempre conjugadas, misma parte real y compleja con signos opuestos).Ídem si mira hacia abajo y esta por debajo del eje...

Tenemos así un discriminate

Dependiendo del signo tenemos uno de los dos casos... soluciones reales o complejas.
El álgebra al principio se apoyaba mucho en la geometría. Así la interpretación geométrica del cuadrado de una suma (empleado arriba) es ésta:  

Cuadrado de una suma
Como vemos hasta ahora el instinto geométrico nos ha guiado bien...en dos dimensiones, pero nos sirve sólo hasta las tres a las que estamos acostumbrados...

La resolución de la ecuación cúbica requiere mucho más ingenio y paciencia...

La vemos la semana que viene....

Un abrazo Elementales



Francisco Jose Menchen