martes, 2 de junio de 2009

¿Series Divergentes?


¡Hola Elementales!



En el mes de Abril la revista Investigacion y Ciencia traía un artículo sobre el Efecto Casimir, cuyo nombre se debe al físico Holandés Hendrik B.G. Casimir, quien predijo el efecto que ahora lleva su numbre. Sólo se puede apreciar a escalas nanometricas.





Consiste en una manifestación observable de "la energía del vacío" o de la "fluctuación cuántica del vacío". Se manifiesta como una atracción (o repulsión) de dos placas metálicas paralelas y separadas entre sí una distancia muy pequeña (típicamente nanométros) comparada con el tamaño de las mismas (las consideraremos lo suficientemente grandes para considerar que los efectos en sus bordes son despreciables).



El vacío, según la mecánica cuántica no está tan vacío, y en él se están produciendo constantemente pares de partículas y antipartículas, de periodos de vida muy cortos, ya que rápidamente se aniquilan mutuamente o con otras cercanas de una forma continua: se crean y destruyen y en promedio siempre hay un cierto número de ellas, en un número que va decreciendo con la frecuencia (energía) asociada a las mismas. Así las de alta energía y por tanto mayor frecuencia son más infrecuentes y su número escasea.


En principio el efecto viene a ser como las ondas estacionarias en una cuerda tensa, como por ejemplo de una guitarra, donde al imponer condiciones de contorno (los dos extremos de la misma no pueden oscilar porque están fijos). Así sólo terminan propagándose ondas de una longitud de onda igual a la mitad de la longitud de la cuerda y todos sus múltiplos o armónicos(todas las que empiecen y terminen, "quepan" exactamente entre ambos puntos).




Este mismo efecto se produce con las partículas que se van generando en el vacío, con la frecuencia y su longitud de onda asociada, se van primando unas sobre otras y al final hay algunas que se van anulando hasta que sólo quedan determinadas al imponer las placas una condiciones que limitan al vacío, produciendo un efecto de atracción entre las placas que se ha medido tal y como se predijo. Parecía una curiosidad y ahora hay que tenerlo en cuenta, en los nuevos diseños de nanodispositivos y chips.



Lo más interesante del artículo era que manifestaba la dificultad matemática de la mecanica cuántica en general, y en este efecto en partícular, para obtener el resultado de sumas y series infinitas, aparentemente divergentes: como el efecto de la suma de infinitos armónicos de frecuencia creciente, y por tanto de resultado infinito en su cálculo, pero que al medir en el laboratorio producían en cambio resultados finitos y perfectamente medibles.



Por ejemplo: la serie Sn= - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + .... ¿alguien ve si tiende a algo?


Es curioso porque parece que depende de si empezamos en 1 o en -1. Esta serie nos da mucho juego y es peligrosa de usar: todas las series que no sean absolutamente convergentes (según los criterios de Dirichlet http://es.wikipedia.org/wiki/Dirichlet) pueden dar valores distintos o absurdos dependiendo de cómo agrupemos términos o en qué orden se sumen parcialmente.


Euler y muchos otros se interesaron por ellas e idearon algún método para abordarlas.


En esta de nuestro ejemplo iremos con mucho cuidado y veremos a donde llegamos:


Tras el primer -1 el resto de la serie es la propia serie cambianda de signo, o sea que podríamos escribirla así:


Sn = -1 -(-1+1-1+1-1+1-1+...);

Sn = -1 - Sn;

2Sn = -1;

Sn = -1/2;



Que coincide con la solución que se precisa para justificar los resultados experimentales: -1/2.
¿No os parece sorprendente?


Este problema de la física cuántica se denomina "renormalización" y consiste en todo un conjunto de reglas o "trucos", según sus detractores, para "eliminar" la enorme cantidad de "molestos infinitos" que aparecen sin cesar en los cálculos.






Uno de estos métodos es efectuar los cálculos siguiente estrictamente un orden muy concreto: el de los famosos diagramas de Feynman http://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Feynman. Al principio parecían sólo una manera muy didáctica de representar interacciones entre partículas y finalmente resultaron muy útiles para "dirigir" los cálculos. Si se hacían los mismos en el orden adecuado siguiendo dichos diagramas se obtenían resultados finitos, en otro orden no.


Otra forma fascinante de conseguir resultados finitos es ¡Usando la Función Zeta de Riemann! la que él empleó para determinar la cantidad y distribución de los números primos. En concreto la expresión que él extendió a todo el plano complejo (salvo en S=1, que es donde se hace infinita).







C(1)= 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... la famosa serie armónica, que es divergente


C(2)= serie de la inversa de los cuadrados (el Problema de Basilea) = pi^2/6


C(3)=1,202... (serie de la inversa de los cubos) = constante de Apéry

...

En el semiplano de valor real negativo, y para valores enteros tenemos que:

C(0)=-1/2 ¿os suena?
C(-1)=1+2+3+4+5+.... que aparentemente debería tender a infinito, pero
C(-1)=-1/12 según la sumación de Ramanujan .


De este genial matemático de origen Indio Srinivasa Ramanujan, descubierto por Hardy, hablaremos monográficamente en otra entrada. En sus escritos enigmáticos que envió para que los revisara Hardy a Cambridge (UK) podía leerse entre otras muchas cosas:

1+2+3+4+5+...=-1/12


Él entendía las matemáticas como reveladas por inspiración divina y decía que una diosa indú se las comunicaba en sueños... ha habido pocos matemáticos como él en todos los sentidos (era capaz de escribir de memoria fórmulas sorprendentes de tamaño increíble como si alguien se las dictara al oído y nadie más sabía de dónde procedían ni por qué camino llegaba a ellas). Por desgracia murió muy jóven (el clima y la comida Inglesas le hicieron enfermar de forma fatal).

Hoy se escribe así en su nombre: 1+2+3+4+5+...=-1/12(R) que significa sumación de Ramanujan, para distinguirla de la suma normal.

Tenemos pues que la función Zeta de Riemann se usa explicitamente en los cálculos del Efecto Casimir. ¿es una coincidencia? También la sumación de Ramanujan (que surgió igualmente para Teoría de Números). Y los misteriosos números de Bernoulli!, que son de hecho valores de función zeta para enteros negativos. B1=-1/2 (Euler los relacionó en una formula con dicha función, os debo una entrada dedicada a ellos).

Como veis las coincidencias entre la matemática más básica, como Teoría de Números (y los números primos) y el Mundo Físico en su escala más elemental son sorprendentes (al menos a mí me lo parece) y están íntimamente relacionados.

¿De nuevo os parece una coincidencia? Al igual que le sucede a los números Pi o e (y en este caso también Phi la constante de Euler-Mascheroni) que aparecen constantemente por todas partes en matemáticas y física.

¿Conoce alguien alguna otra serie aparentemente divergente pero con resultado finito?

O alguna otra curiosidad. Que se anime y lo cuentee o lo planteé.


Un saludo Elementales!

2 comentarios:

Cristina Velázquez dijo...

Estimado Francisco:
Mi nombre es Cristina Velázquez y soy Profesora de Informática, de Ciencias Exactas y capacitadora de docentes en TIC.
Quiero invitarlo a participar de una de mis iniciativas denominada "Tu Blog en mi Blog"
http://www.tublogenmiblog.blogspot.com/
Para que comprenda mejor de qué se trata, puede leer la presentación en
http://tublogenmiblog.blogspot.com/2009/02/presentacion.html

Espero que le interese la propuesta de contarnos, a través de una entrada, acerca su Blog.
Cordialmente
Prof. Cristina Velázquez
cristinavdls@gmail.com

Francisco Jose Menchen Caballero dijo...

Estimada Cristina,



Muchísimas gracias por el amable comentario que has depositado en mi blog, aunque creo que también pertenece a todo aquel que lo sigue y/o participa en él. Para mi, será un honor que muestres un link en tu “blog de blogs” a Elemens mi humilde contribución a la divulgación científica. Ahora bien, como habrás podido observar, está centrado más bien en divulgación sobre matemáticas y física fundamental. Antes de acceder con un sí a tu petición, me gustaría saber cuál es el criterio de selección para admitir a un nuevo miembro en tu blog o a rechazar a uno existente (por ejemplo no admitir a blog que difamen…) o si tan sólo se trata de tener un blog con reflexiones genéricas: pero al menos no se admitan blog de seudo-ciencias, ni exoterismos, ni astrología, ni cosas así. Y si fuera de divulgación y reflexión sobre el conocimiento y disciplinas bien fundamentadas sería ya lo ideal.



De ser este el caso, indícame qué necesitas: he visto que soléis poner un logo del blog, alguna reflexión,…



Recibe un cordial saludo y me parece una buena idea realizar un foro común de foros y de personas que los visitan y alimentan


Un cordial saludo

Fran

PD ¿Qué contenido tiene tu asignatura de informática en concreto?¿Te interesa algo en especial de la informática o la computación básica o fundamental? Estoy seguro que sabes que cada vez hay más áreas básicas y demostraciones que incluyen, usan o afectan a la computación en matematicas? Tengo pensado publicar una entrada a este tema en breve… y será el primero de muchos.