viernes, 5 de junio de 2009

Particiones del Número N... Ramanujan

Hola Elementales,

Ya que la entrada anterior mencionamos brevemente a Ramanujan como un verdadero "genio" en el sentido clásico o intuitivo del término: de pequeños creemos que los genios son así: gente que se despierta con la solución a un problema complejo de manera intuitiva y natural. En la inmensa mayoría de los casos, por el contrario, esa "inspiración" sólo acude al que la llevaba buscando y trabajando con mucho esfuerzo durante años.
Creo que el ejemplo de la sucesión numérica de las particiones del número n, es muy ilustrativo:

Número (N): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...
Particiones (P): 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, ...
¿Sabe alguien ver el término general? Sn= ?

La sucesión parece un tanto caprichosa y se forma a partir de un enunciado de lo más sencillo e ingenuo, de un juego casi de niños...

"si tengo un conjunto de elementos iguales, digamos por ejemplo un número n de piedrecitas, ¿de cúantas formas distintas puedo agruparlas en montoncitos sin que sobre ninguna"


Así por ejemplo:

n=1, es trivial un montón de una piedra.

n=2
Si tengo dos piedras sólo tengo dos posibilidades: o juntas en un único montón o en dos montones de una piedra cada uno.

n=3

Si tengo 3 piedras, tengo 3 posibilidades: un monton de tres, dos montones de dos y una o tres montones de una única piedra cada uno.

Hasta ahora es fácil, ¿verdad?
n=4
1 montón de 4 piedras: (4)
2 posibilidades de 2 montones con (1,3), o con (2,2)
1 posibilidad de 3 montones: (2,1,1)
1 posibilidad de 4 montones: (1,1,1,1)
P=5



n=5
1 posibilidad de 1 montón (de 5 piedras).
2 posibilidades de 2 montones: (1,4) y (2,3)
2 posibilidades de 3 montones: (3,1,1) y (1,2,2)
1 posibilidad de 4 montones: (2,1,1,1)
1 posibilidad de 5 montones: (1,1,1,1,1)
P=7


Para los que piensen que se exagera un poco con eso de que este genial Matematico literalmente se sacaba de la manga una fórmula increíblemente compleja y larga y nadie sabía de dónde ni cómo había llegado allí. Os pongo un simple ejemplo:

Esta es la formulita con la que desayunaron una mañana Hardy y Litlewood conforma se le había ocurrido esa noche a Ramanujan, como aproximación a la sucesión de las particiones de números, por aquel entonces aún sin solución. Por supuesto esa fórmula no tenía resultados enteros, sino que daba como solución el entero más próximo y luego había que redondear.

Esta es una aproximación a la misma publicada por Hardy-Litlewood-Ramanujan






El problema de la partición de números tiene importantes aplicaciones en combinatoria moderna. La fórmula general se encontró recientemente y era uno de los problemas clásicos abiertos de la matemática. Una de las aplicaciones donde se precisaba era para calcular estados cuánticos y sus probabilidades en sistemas donde los electrones se pudieran agrupar de multiples formas (en montoncitos) en sistemas tales como átomos gigantes (tipicamente radiactivos) o sistemas mayores aún (moleculas, estado solido...)

Nota: Ilustración por cortesía de Wikipedia. Diagramas de Young mostrando el número de particiones de los enteros del 1 al 8. Se asignan diferentes colores a cada entero. Por ejemplo, en verde, observamos que hay 5 particiones de 4


Ramanujan era un experto aficionado a las fracciones continuas. Esta fórmula que las emplea es una de las más "bellas" de todas las matemáticas. Es inusualmente sencillita para lo que acostumbraba, pero es una de mis favoritas:

Una suma de terminos cuyo término enésimo es muy sencillo y consta sólo de números naturales y al otro lado la raiz del producto de los números "e" por pi medios...


Todo un "genio" Ramanujan. Fue una auténtica pena que muriera tan jóven... quien sabe lo que hubiera podido legarnos de haber continuado durante toda una larga vida.

¿Conocéis la película de Blade Runner? El famoso diálogo donde el creador del replicante (un hombre sintético creado por ingeniería genética y fabricado en un hipotético mundo del futuro, donde el dilema moral es determinar si es o no un ser humano y si tiene o no derechos...), le dice que "él ha brillado con una luz de mucha más intensidad que la del resto de los hombres y por eso su vida sería mucho más corta". Creo que es muy apropiado para Ramanujan.


Un saludo Elementales

Francisco Jose Menchen Caballero

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