viernes, 7 de enero de 2011

Algebra III: La Ecuación Cuártica o de Cuarto Grado

Hola Elementales,

Feliz Año Nuevo 2011!

Nos habíamos quedado en nuestro capítulo anterior en que ya sabíamos resolver la ecuación de tercer grado o cúbica. El método pese a tener muchos cálculos, no era nada del otro mundo: sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces cuadradas y cubicas...muchos pasos en un orden adecuado. Mucho ingenio en varios cambios de variable y buen ojo en saber llegar a la solución adecuada cuando además del cambio añadimos una variable extra y de los muchas soluciones escogimos la que nos interesaba.

Como dijimos entonces, fue el discípulo de Cardano,  Lodovico Ferrari el que acometió su solución, y la publicó este primero en su famoso libro Artis Magnae





De nuevo se hace un cambio de variable para llegar a la ecuación "deprimida":  Primera Gran idea






Tras sustituir...





Haremos un breve inciso para poder desarrollar un binomio a la cuarta potencia: conforme al binomio de Newton, sólo hay que aplicar un poco de combinatoria: el primer término elevado al coficiente mayor (en este caso 4) y luego todas las combinaciones añadiendo el segundo término, en cada paso aumenta uno el segundo y disminuye uno el primero, hasta llegar al último término donde sólo vuelve a quedar el segundo término al exponente máximo (en este caso 4). Los coeficientes son los números combinatorios de cuatro elementos tomados de 2 en dos: 4 sobre 0: 1, 4 sobre 1: 4, 4 sobre 2: 6, 4 sobre 3: 4 y 4 sobre 4: 1. Así tenemos:




Hipercubo o Teseracto, cortesia de Wikipedia
La interpretación geométrica no podemos dibujarla porque se trata de un Hipercubo , un objeto de cuatro dimensiones, sólo podemos imaginarlo fugazmente por sus proyecciones en 3D (que son cubos). La verdad es que yo nunca he podido "verlo".... Cada vez que "cruza" nuestro Universo en 3D lo veríamos de forma cambiante, como una sombra en 3D de un objeto 4D.... ímaginaros cómo se proyecta la sombra de un cubo 3D en una pared 2D... girarlo para comprobar lo difícil que resulta imaginarse el objeto a partir de las sombras.... 
Si quereis hacer el ejecicio mental os pongo el link a la fantastica página de epsilones: www. epsilones.com Epsilones    descarga del programa d4.exe donde podeis descargar un programa donde se ven las sombras del hipercubo en nuestro mundo de sólo tres dimensiones conforme lo vais moviendo en cualquiera de los 4 ejes...


Y hay un extracto en YouTube de la explicación del siempre genialmente divulgativo Carl Sagan de la serie "Cosmos", que he localizado gracias a http://www.teknoplof.com/. Un día, o varios hablaremos de Carl Sagan y su enorme contribución a la divulgación científica, gracias a él se veía una serie en TV increible en calidad y contenido en hora punta hace años... creo que vamos definitivamente hacia atrás en la televisión.




Recordamos también el del cubo:





Así ya podemos desarrollar la expresión:




Agrupando y simplificando un poco, queda:






Como no tiene sentido arrastrar todos esos paréntesis todo el tiempo, llamémosles, p, q y r respectivamente. Al final podremos deshacer este cambio fácilmente:






La Segunda Gran Idea: ya que no tenemos término al cubo, se puede expresar esa ecuación cuártica, como el producto de dos expresiones al cuadrado...factorizandolo así:







Resolverla no es nada sencillo pero sí un ejercicio de paciencia colosal, ya obtenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas no lineales:










y al resolverlo obtenemos nada menos que una ecuación de sexto grado, pero no con todos los términos. Realmente es una ecuación bicúbica. Con un sencillo cambio del tipo A=a^2, nos queda una ecuación cubica, que sabemos resolver (ver al final todo el proceso).





Al igual que cuando la ecuación cubica obteníamos una cuadrada... hasta ahora todo igual cambiando un orden la ecuación.


Ya sólo nos queda: obtener las 6 soluciones deshaciendo A por alfa, calcular beta y gamma (expresiones (5) y (6). A partir de ellas calculamos p, q y r. A partir de ellas Z. Y para terminar deshacemos el cambio y obtendriamos X (para las 4 soluciones). Parecen muñecas rusas, una dentro de otra, ¿verdad?.

Al final obtenemos cuatro soluciones que constan de raíces cuadradas y cubicas incluyendo p, q y r.... ocupan muchisimo, pero os pongo una de ellas:










Son muy aparatosos los cálculos pero al fin y al cabo, se trata sólo de una expresión algebraica...








En este punto seguro que nos estamos preguntando cómo será la solución general de la ecuación quinta o de quinto grado.... todo el mundo pensará, como se pensaba entonces, que requerirá ingenio e idea feliz... muchísima paciencia y que habría que hacer cambios de variable, resolver una ecuación cuarta, luego una cubica, luego muchos cálculos con raíces quintas, cuartas, cubicas y cuadradas y ya estaría: 
¡nos equivocaríamos como lo hicieron entonces! la solución no aparecía y por más que se intentaba: nada!. En matemáticas no basta con estar muy seguro de algo hay que demostrarlo... veremos una de las historias más "novelesca" de todas las matemáticas con "Galois" de protagonista.


Un saludo Elementales



Francisco José Menchen

PD para todos los que me lo han pedido ahí va cómo resolver el sistema de ecuaciones para obtener la ecuación de sexto grado:




7 comentarios:

esther dijo...

Madre de dios! qué nivel de blog!!!!!!

Fran Menchen dijo...

Gracias Esther!

Pero no es tanto... Solo son operaciones que deberían saber todos los niños que terminan la enseñanza obligatoria... Solo que muchas y en un orden determinado...(hay un algoritmo detrás...).
Esta es la entrada mas "densa"... Normalmente evito las formulas todo lo que puedo, y si las empleo, siempre bajo hasta donde se precise para no usar nada que no haya explicado... Procurando no saltarme ni un paso...
Yo odiaba cuando aquel profesor que decía: "como es evidente" y no lo era en absoluto, o "como fácilmente obtendrán ustedes..." y no había forma.
Siguelo y veras como te "pica", espero.

Un abrazo

Francisco JOSE Menchen

DIPACOLVE dijo...

Cordial saludo.
Esta entrada es muy interesante. Me gustaría saber más sobre estas ecuaciones para resolver ecuaciones de cuarto grado.
Me pordría facilitar un correo?
Gracias.

Francisco Jose Menchen Caballero dijo...

Hola Dipacolve!

No hay problema, pero no se si entiendo bien tu duda, ¿podrías ser más explicito por favor?
Mi correo para dudas es:
elemens.francisco.menchen@gmail.com

Un saludo

Francisco Menchen

Jorge Ramiro dijo...

En internet hay muy buenas opciones para practicar mucho sobre los ejercicios que tenemos que hacer. Ahora quería conseguir buenos ejercicios inecuaciones para practicar este tema que me resulta dificil

Alberto morales fermi dijo...

ALBERTO MORALES FERMI
ALBERTOMF.3000@GMAIL.COM

DE ESTRADA QUIERO AGRADECER Y FELICITAR POR LA EXPLICACIÓN SOBRE ESTOS TEMAS.
Y QUISIERA SABER SI SABEN DE OTRAS ECUACIONES SOBRE LA SOLUCION DEL PERIMETRO DE UNA ELIPSE, PUES ES UN TEMA QUE ME HA INTERESADO RECIENTEMENTE.
GRACIAS Y SALUDOS.

Anónimo dijo...

Este no es el metodo de ferrari es el metodo de Descartes