lunes, 3 de noviembre de 2008

Los Cimientos Solidos de los Números

Durante la parte del siglo XVIII, todo el XIX y muy al comienzo del XX se intentó cimentar el edificio entero de las matemáticas “sobre roca sólida”. Se trataba en primer término de hacer una ciencia coherente, que no albergara paradojas ni contradicciones. El modelo que se escogió como más acertado fue el de los antiguos sabios Griegos el "axiomático": a partir de unos cuantos principios sencillos e irreducibles llamados "axiomas" y deduciendo con las reglas de la lógica se deberían poder obtener todos los demás contenidos de las matemáticas (teoremas, reglas, conocidas, ...). El sistema además debe definir también elementos con los que aplicar los axiomas.
La empresa era tremendamente ambiciosa, sobre todo teniendo en cuanta el enorme desarrollo que había tenido la matemática durante los últimos dos siglos en todas las direcciones: análisis, algebra, geometría, etc... Los matemáticos se habían arrojado entusiasmados a la más interesante tarea de explorar e investigar nuevos territorios, sin preocuparse demasiado de comprobar los límites seguros de los mismos ni sus fundamentos.

Al revisar el concepto más básico o primitivo de la matemática "el número" se intentó crear una teoría que clasificase y ordenase los números que ya se conocían. Los Naturales, los Negativos, los Racionales, los Irracionales, y los Imaginarios.

Los Números Naturales: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6....}


La idea intuitiva es muy sencilla: a partir de un primer número, la unidad, repitiéndolo o añadiéndolo a sí mismo se obtienen todos los demás. Con la unidad o primer número y una aplicación elemental se genera el conjunto de los números Naturales. Los axiomas de Peano dicen esto básicamente, aunque con el lenguaje más preciso de la Teoría de Conjuntos.

Con la inversa de la suma, el conjunto no es cerrado, puedo hacer una operación cuyo resultado no pertenezca al propio conjunto. Hay ecuaciones tan sencillas como 5 + x = 2, que no tienen solución dentro de N.

Los Números Enteros: Z = { ... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ... }

Los números negativos, a los que a lo largo de la historia se tardó más de lo esperado en aceptar como verdaderos números (y no sólo como un truco para resolver algún paso intermedio de un problema o ecuación), surgen de manera natural en contabilidad como la idea de "deuda" (se puede tener menos dinero que cero, puedo sumar algo que me reste el resultado...).
También pueden generarse a mi juicio a partir de una idea muy intuitiva: si siempre puedo preguntarme ¿cuál es el siguiente número?, a partir de uno dado, y siempre hay una respuesta, porque siempre hay un numero siguiente, ¿por qué no puedo preguntarme siempre cuál es el anterior? Respondiendo que sí se puede, nos resulta el conjunto de los números enteros.

En este caso la idea formal que escogieron para generarlos, renunció a la sencillez para poder generar este nuevo conjunto a partir del anterior, N, que ya estaba bien definido. Me parece una definición menos sencilla, más enrevesada, menos elegante. En lugar de definir un número de partida o singular, pongamos el 1 o el cero, y definir dos aplicaciones una que nos permita obtener el elemento siguiente a uno dado y otra (su inversa) que nos de el anterior... emplearon algo más elaborado: “la diferencia de dos números naturales” que a veces da un número positivo y a veces otro negativo generando todo Z. La idea se complica porque hay infinitos pares ordenados de números naturales cuya diferencia es la misma. Por ejemplo el número -3 surge de (5,8) o (4,7) o (21, 24).... así se define mediante una relación (R) desde N a NxN que finalmente genera Z.
El subconjunto de Z+ (todos los números mayores que el cero) resulta un isomorfismo con N (sus elementos no son de la misma naturaleza que N, pero con respecto a las operaciones básicas suma y multiplicación se comportan igual). Así de algún modo el conjunto de números naturales N está contenido en Z.

Los Números Racionales:

La división como operación inversa a la multiplicación genera nuevas dificultades al no ser siempre exacta, esto es no siempre al dividir dos números que pertenecen a N (o a Z) se da lugar a un resultado que pertenezca también a N (o a Z). Para poder realizar cualquier división, hubo que generar un conjunto nuevo Q formado por dos números a/b que generaba todos los anteriores (si b = 1 tenemos números enteros, o sea Z).
Al igual que con los pares ordenados que generaban Z, hay infinitos pares que pueden definir el mismo número Q como por ejemplo 1/2 , 2/4 , 3/6 , 4/8 , 5/10 ... Así pues, en este caso sí es evidente y una solución formalmente impecable y cercana a la intuición, mediante una Relación desde ZxZ* (el denominador no puede ser cero luego Z* = Z – {0}). Como en el caso de Z con N, Z resulta ser un isomorfismo de Q cuando el denominador es 1 (por ejemplo) y cualquier par relacionado equivalente.

También dan lugar al concepto de divisibilidad, factor, múltiplo y de manera natural se llega a "número primo" (no divisible por ningún otro número salvo él mismo o la unidad) o primos relativos (sin ningún factor común y, por tanto, no divisibles entre ellos). Al final un número de m/n perteneciente a Q se representa por la fracción p/q donde p y q son primos relativos ambos divisores de m y n respectivamente y la fracción es irreducible. En el ejemplo anterior ½.

Números Reales:

Números Irracionales:
Sorprendentemente, sobre todo para los antiguos griegos hay números que no se pueden conseguir como una división de otros dos dados, por grandes que estos sean. Para los antiguos pitagóricos fue un auténtico "trauma" una auténtica crisis: nunca superaron este descubrimiento. Que un número tan importante y omnipresente como π (pi) (presente en la proporción o razón entre la longitud de la circunferencia y su radio o su diámetro) no fuera "racional" fue algo que les hizo tambalear todo su edificio matemático y filosófico. Su representación aproximada es

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068...
(hay proyectos para seguir avanzando en el número de cifras de Pi y ya se han logrado trillones de ellas sin que se haya encontrado ninguna pauta que pueda indicar reiteración)






Hay infinidad de ellos, como la raíz cuadrada de 2. Su representación geométrica es muy sencilla, es la diagonal de un cuadrado de lado 1. Puede pintarse fácilmente y su longitud es por tanto finita, pero posee una cantidad de números decimales que no se acaba nunca, y lo que es más desconcertante, que no se repiten por mucho que avancemos.
Por el teorema de Pitágoras c^2=a^2+b^2, si a=b=1, c^2=2, luego c=
Se trata de otro número irracional, esto es no podemos expresarlo como la razón (el cociente de otros dos números). Su representación decimal aproximada con cifras:

1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641573...

La demostración de que no es racional es muy sencilla por reducción al absurdo.
Suponemos que sí hay un número Q (a/b) que al cuadrado da 2 y llegamos a un absurdo, luego la hipótesis de partida no era cierta y no existe tal número, luego es irracional.

(a/b)^2 = 2;
a^2 / b^2 = 2;
a^2= 2*b^2;

luego a^2 es un número par ya que es igual a 2 por otro número, y como el cuadrado de un número par también es un número par, podemos expresarlo así:
(2k)^2= 2*b^2;
4k^2= 2*b^2;
2k^2= b^2;
Se repite el argumento anterior, b^2 es un número par, luego tenemos que el cociente de dos números primos entre sí resulta ser el cociente de dos números pares, que por tanto serían algún factor común al menos el dos y no serían primos entre sí, y esto es absurdo.
Más delante surgieron números importantísimos en matemáticas superiores aunque no aparecen en nuestro día a día de forma tan evidente, como el número e (llamado así en honor de Euler, aunque también se le conoce como Constante de Neper en honor al matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo al cálculo matemático) al que al igual que π aparece constantemente por todas partes,

e=



El número e, al igual que el número π, es un número trascendente, es decir, que no puede ser obtenido directamente mediante la resolución de una ecuación algebraica. Por lo tanto, es un irracional y su valor exacto no puede ser expresado como un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos. Ambos números son los más importantes de las matemáticas junto con el 1 y el 0. Es curioso que Euler encontrara una fórmula que los relaciona:

Que se considera una de las más "bellas" en matemáticas.

Realmente sólo es un caso particular de la famosa Fórmula de Euler:





Donde al expresar en radianes los angulos 180º=π y por tanto el coseno vale -1 y el seno 0. Despejando al otro lado de la igualdad.

También se puede expresar como logaritmo en base e o




Otro número muy importante es gamma, la constante de Euler-Mascheroni, muy importante en teoría de números y también aparece de vez en cuando en otras áreas.


= lim (n->inf ) ( 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n - ln(n) )= 0.57721566490153286061 ...


Otro es Φ (Número "áureo") aprox 1,6180...


El número o razón aurea es un número muy importante presente en las proporciones de los seres vivos, aparece en la formula de crecimiento de poblaciones (se estudió la primera vez en conejos), y en la famosa sucesión de Fibonacci.

Cuya fórmula recursiva es muy sencilla: cada término es la suma de los dos anteriores. Definiendo los dos primeros: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ...

Pero su formula general (que da el termino n-ésimo sin calcular todos los anteriores) es sorprendente:



¿veis al número aureo? ¿de donde sale la raiz de 5? (un dia dedicaremos una entrada a estos números tan especiales...)


Añadiendo al conjunto de números Q los números "irracionales" se completa el continuo de la recta y se denomina a este nuevo conjunto R o de los números reales.






Números Complejos:

Desde hace muchísimo también se conocían ecuaciones muy sencillas sin resultado o con solución a su juicio absurda o no real, como x^2=a; que no tenía solución si "a" era negativa.

Ejemplo: x^2 = -4. No hay ningún número que al cuadrado de ese resultado pues 2 al cuadrado resulta 4 y (-2) al cuadrado también resulta 4, y no -4.

De algún modo las ecuaciones de este tipo cuadradas, cúbicas o de orden superior no siempre tenían solución. Costó muchísimo aceptarlo pero poco a poco se iba arrastrando ese resultado como valor "intermedio, útil pero sin sentido", como en la resolución de alguna cúbica. Finalmente se aceptó que se operara con la raiz de -1 y a fuerza de escribirlo se le llamó "i" (de imaginario). Como se comprobó que no estaban en la recta real porque estaba llena con los números R se plantearon que estos nuevos números no mezclaran la parte real con la imaginaria del tipo a+bi y se les llamó Complejos. Se representaron en un plano. Donde el eje horizontal fuera la recta real concocida y el eje vertical fuera otra recta (con todos los valores como la horizontal) pero multiplicada por el número i


Cuaterniones

Posteriormente (antes incluso que el desarrollo de los vectores) Mr Hamilton generalizó los números complejos a más dimensiones, hasta 4 (con 3 que era lo que él perseguía para un modelo de nuestro espacio que es de 3 dimensiones, no conseguía una estructura de álgebra) y los llamó Cuaterniones.



Su idea y fórmula genial i^2 = j^2 = k^2 = ijk =-1

Es una de las anécdotas más simpáticas de las matemáticas: tras varios días tratando de darle forma a sus ideas, le vino repentinamente a la cabeza la solución paseando un domingo por el parque con su esposa, y no teniendo donde escribir lo apuntó en un puente ... fue como el Eureka! Lo que escribió en el puente fue exactamente esa fórmula.









Aunque nos parezcan muy abstractos, más de un siglo después los números inventados por Mr. Hamilton son actualmente muy útiles en Física de partículas.





Numeros Hipercomplejos

Construidos mediante herramientas del álgebra abstracta, tales como cuaterniones, tesarines, cocuaterniones (4 los tres), octoniones, bicuaterniones (8 ambos) y sedeniones (16).



Números Hiperreales

Las últimos en llegar son los Números Hiperreales (hace apenas 30 años) que incluyen los números reales conocidos más los números infinitamente grandes y los muy pequeños (infinitésimos o diferenciales).

Ya desde Newton y Leibniz se empleaban infinitésimos sin que se considerara su uso algo demasiado riguroso...con complejo de “apaño” útil . Con Cauchy y Weistrasss y sus epsilones y deltas en la definición de límite empezaron a ser aceptandos....

Como vemos la necesidad de contar con rigor no tiene límite, salvo el de la propia imaginación del hombre o su capacidad para descubrir nuevos números, va en gustos,... ya dedicaremos otro artículo a este tema tan interesante como antiguo: ¿la matemática se inventa o se descubre?. La idea pitagórica o platónica de que los objetos matemáticos tienen existencia y entidad propia o por el contrario son una obra de la mente humana, un edificio del pensamiento de increíble belleza... ¿Si los dinosaurios hubieran sido lo bastante inteligentes hubieran descubierto las matemáticas? ¿Si hubiese vida Inteligente en otras partes del Universo tendrían matematicas como las nuestras? ¿Tu que opinas mi numérico amigo?


Saludos elementales

6 comentarios:

PECE dijo...

Acabo de encontrar tu blog vía Epsilones, y me parece estupendo.
Sólo quería decirte que la fórmula que relaciona a los números pi, e e i no se comprende tal cual aparece en la entrada. Tuve que consultar la relación en San Google para ver de que se trataba.
Mis felicitaciones y un consejo, se constante.

Francisco Jose Menchen Caballero dijo...

Muchas Gracias Pece,

Tus cometarios son un gran estímulo y de mucha ayuda.
Ya lo he modificado y añadido una aclaración adicional, ya que es un caso particular de la fórmula de Euler.

Siempre serán bien recibidos y te animo a que participes o que si hay un tema que te interesa especialmente me ayudes a elegir el siguiente.


Un abrazo


Fran

PECE dijo...

¡¡Qué rapidez!!
Así se entiende mucho mejor.
Tomándote la palabra, siempre me atrajo el conocer curiosidades de los números tales como el origen de sus nombres (primos, perfectos, amigos...), por qué algunos como los primos son tan importantes y otros, como los perfectos por ejemplo, tan sólo sirven para juegos matemáticos ¿o no?...

Francisco Jose Menchen Caballero dijo...

Hola Elementales,

La paso a contestar a Pece y son muy buenas preguntas...

La teoría de Números es precisamente muy atractiva incluso a personas sin una profunda formación matemática porque sus enunciados son relativamente sencillos. Como el famoso Teorema de Fermat aunque en este caso la demostración no está al alcance ni siquiera de la mayoría de los matemáticos más punteros a nivel mundial. Dicho aqui la demostración parece formalmente sin errores pero es un mamotreto enorme de cientos de paginas, me apuesto algo con vosotros que en aparecerá otra más sencilla y elegante antes o después.
La teoría de números se ha ido beneficiando de los avances en otras áreas: primero aritmética, luego el análisis y por último y sobre todo el álgebra, que ha explicado y agrupado muchas "curiosidades" y demostraciones de gran ingenio en familias de problemas con resolución "sistemática".

Los números primos son muy importantes en matemáticas, ya por su propio concepto: serían algo aí como los elementos químicos a partir de los ciuales se pueden crear el resto. Dicho esto creo que aún no se ha encontrado su verdadero "ser" ni la teoría que les ponga en tan prominente posición. Gauss, con su fantástico olfato para las matemáticas, creía firmemente en su importancia que apenas intuyó, pero no fue capaz de de concretar, y no solía equivocarse. Actualmente son la base de toda la criptografía y seguridad en comunicaciones como una aplicación de algún teorema menor... se provecha lo dificil que es factorizar números grandes, mucho más que generarlos.

Los números perfectos son los que la suma de sus divisores propios (incluyendo el 1 pero no él mismo) son iguales al propio número,
El ejemplo más sencillo es el 6
6=1+2+3; Los griegos conocían 4 de ellos:
28=1+2+4+7+14 y 496 y 8128. Euclides encontró una fórmula que después demostró Euler que es válida para los numeros perfectos pares. No se ha probado que no haya impares, ni encontrado hasta al menos un 10 con 300 ceros!
Dicha fórmula es [2^(n-1)]x[(2^n)-1]que es la de los números primos de Marsenne 2^n-1 que generan los grandes numeros que se usan en encriptación. Luego parece que relación sí que hay entre ambos.

Los numeros amigos son parejas de números con la siguinte propiedad: la suma de sus divisores propios resulta el ser igual al otro números reciprocamente. Así por ejemplo: (220,284) ya que los div propios de 220 son 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55 y 110 que sumados dan 284
y los div propios de 284 son 1,2,4,71 y 142 que suman 220.

Se da el caso de que si los dos números amigos son el mismo este núemero es un número perfecto. Luego también s erelaciona con los anteriores y con los primos.
De hecho se conocía una formula desde los árabes (Tabit ibn Qurra) que redescubrieron Fermat y Descartes, que relaciona tres numeros primos especiales para generarlos. La generalizó Euler.
Los pitagóricos les dieron propiedades místicas.

Haré muchas entradas pero una sólo dedicada a estas relaciones.

Un saludo elementales



Fran

Ric hard dijo...

La matemática está implícita en el racionio humano, surge de manera espontánea. La teoría poco a poco se va edificando, no tiene límite, pareciera ser un ente ajeno al hombre. Ahí se puede encontrar belleza, elegancia, ingenio. La matemática es tan necesaria como útil, se crean modelos de manera asombrosa: se observa el fenómeno, lo llevas a su lenguaje, al mundo abstracto, donde se disputan luchas, donde se hacen nudos, luego todo se condensa y se termia por escupir un aconlución que anuncia más que descripción y predicción; alcanza la misma escencia del fenómeno.
Su belleza es comparable con la de las matemáticas (de la fac) jeje.
Ando de estudiambre en méxico. Me faltan un par de años para acabar la licenciatura en física. aprovechando que estás pidiendo opiniones de temas a publicar para complacer a tus lectores, me gustaría que postearas acerca de filosofía de las mates o de los problemas del milenio (en especial los más relacionados con física).
Buen post. Saludos

Francisco Jose Menchen Caballero dijo...

Hola Ric Hard,

Gracias por tus comentarios e interés.
Sí tenía pensado hacer alguna entrada de filosofía de la ciencia y de la matematica. Pero este área es mucho más "opinable" y subjetiva que el resto así que he pensado que repasaremos las posturas más habituales y abriremos una especie de "tormenta de ideas" donde todos podamos exponer nuestras ideas y luego las agrupamos y comentamos. ¿Que os parece?.

Hay muchos problemas abiertos en matematicas. En el caso de los Problemas del Milenio, son 7 y los propuso el Instituto Clay de matematicas, y ofrece 1M$ por resolver cada uno de ellos. El único resuelto hasta ahora es "La conjetura de Poincaré". Que demostró Perelman. Tiene una gran importancia para la física por cuanto toda la Teoría General de la Relatividad o de la Gravitación de Einstein se fundamenta en ella. Gran parte del edificio actual de la topología se basa en ella: se podría resumir así: la n-esfera (como la esfera es la superficie más sencilla de 2 dimensiones dentro de un espacio de 3)es el objeto de n dimensiones más sencillo. Matematicamente es algo más complejo y se relaciona con la teoria de grupos en los que se agupan los diversos caminos cerrados que puedo recorrer sobre una superficie: así la mas sencilla en 2D es la esfera, la siguiente en dificultad es un toroide (como una rosquilla algo con un único agujero), y así. Desde el punto de vista de la topología un cubo es equivalente a una esfera. En general trata las propiedades que no varían deformando un objeto estirándolo, contrayéndolo o retorciéndolo siempre que no lo desgarres cortes o perfores. La sustancia de la que está hechas es elastica, tal y como se modela nuestro Universo en le Relatividad pero con superficies de 3 dimensiones contenidas en un espacio de 4... algo que casi nadie podemos imaginar. Poincare propone cómo tratar de intuirlas...

Los 6 siguiente problemas son:

1 P versus NP
2 La Conjetura de Hodge
3 La hipótesis de Riemann
4 Existencia de Yang-Mills y del salto de masa
5 Las ecuaciones de Navier-Stokes
6 La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Que os ire contando en una entrada solo para ellas...

Un abrazo Elementales


Fran