Los Cimientos Solidos de los Números

Durante la parte del siglo XVIII, todo el XIX y muy al comienzo del XX se intentó cimentar el edificio entero de las matemáticas “sobre roca sólida”. Se trataba en primer término de hacer una ciencia coherente, que no albergara paradojas ni contradicciones. El modelo que se escogió como más acertado fue el de los antiguos sabios Griegos el "axiomático": a partir de unos cuantos principios sencillos e irreducibles llamados "axiomas" y deduciendo con las reglas de la lógica se deberían poder obtener todos los demás contenidos de las matemáticas (teoremas, reglas, conocidas, ...). El sistema además debe definir también elementos con los que aplicar los axiomas.
La empresa era tremendamente ambiciosa, sobre todo teniendo en cuanta el enorme desarrollo que había tenido la matemática durante los últimos dos siglos en todas las direcciones: análisis, algebra, geometría, etc... Los matemáticos se habían arrojado entusiasmados a la más interesante tarea de explorar e investigar nuevos territorios, sin preocuparse demasiado de comprobar los límites seguros de los mismos ni sus fundamentos.

Al revisar el concepto más básico o primitivo de la matemática "el número" se intentó crear una teoría que clasificase y ordenase los números que ya se conocían. Los Naturales, los Negativos, los Racionales, los Irracionales, y los Imaginarios.

Los Números Naturales: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6....}

La idea intuitiva es muy sencilla: a partir de un primer número, la unidad, repitiéndolo o añadiéndolo a sí mismo se obtienen todos los demás. Con la unidad o primer número y una aplicación elemental se genera el conjunto de los números Naturales. Los axiomas de Peano dicen esto básicamente, aunque con el lenguaje más preciso de la Teoría de Conjuntos.

Con la inversa de la suma, el conjunto no es cerrado, puedo hacer una operación cuyo resultado no pertenezca al propio conjunto. Hay ecuaciones tan sencillas como 5 + x = 2, que no tienen solución dentro de N.

Los Números Enteros: Z = { ... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ... }

Los números negativos, a los que a lo largo de la historia se tardó más de lo esperado en aceptar como verdaderos números (y no sólo como un truco para resolver algún paso intermedio de un problema o ecuación), surgen de manera natural en contabilidad como la idea de "deuda" (se puede tener menos dinero que cero, puedo sumar algo que me reste el resultado...).
También pueden generarse a mi juicio a partir de una idea muy intuitiva: si siempre puedo preguntarme ¿cuál es el siguiente número?, a partir de uno dado, y siempre hay una respuesta, porque siempre hay un numero siguiente, ¿por qué no puedo preguntarme siempre cuál es el anterior? Respondiendo que sí se puede, nos resulta el conjunto de los números enteros.

En este caso la idea formal que escogieron para generarlos, renunció a la sencillez para poder generar este nuevo conjunto a partir del anterior, N, que ya estaba bien definido. Me parece una definición menos sencilla, más enrevesada, menos elegante. En lugar de definir un número de partida o singular, pongamos el 1 o el cero, y definir dos aplicaciones una que nos permita obtener el elemento siguiente a uno dado y otra (su inversa) que nos de el anterior... emplearon algo más elaborado: “la diferencia de dos números naturales” que a veces da un número positivo y a veces otro negativo generando todo Z. La idea se complica porque hay infinitos pares ordenados de números naturales cuya diferencia es la misma. Por ejemplo el número -3 surge de (5,8) o (4,7) o (21, 24).... así se define mediante una relación (R) desde N a NxN que finalmente genera Z.
El subconjunto de Z+ (todos los números mayores que el cero) resulta un isomorfismo con N (sus elementos no son de la misma naturaleza que N, pero con respecto a las operaciones básicas suma y multiplicación se comportan igual). Así de algún modo el conjunto de números naturales N está contenido en Z.

Los Números Racionales:

La división como operación inversa a la multiplicación genera nuevas dificultades al no ser siempre exacta, esto es no siempre al dividir dos números que pertenecen a N (o a Z) se da lugar a un resultado que pertenezca también a N (o a Z). Para poder realizar cualquier división, hubo que generar un conjunto nuevo Q formado por dos números a/b que generaba todos los anteriores (si b = 1 tenemos números enteros, o sea Z).
Al igual que con los pares ordenados que generaban Z, hay infinitos pares que pueden definir el mismo número Q como por ejemplo 1/2 , 2/4 , 3/6 , 4/8 , 5/10 ... Así pues, en este caso sí es evidente y una solución formalmente impecable y cercana a la intuición, mediante una Relación desde ZxZ* (el denominador no puede ser cero luego Z* = Z – {0}). Como en el caso de Z con N, Z resulta ser un isomorfismo de Q cuando el denominador es 1 (por ejemplo) y cualquier par relacionado equivalente.

También dan lugar al concepto de divisibilidad, factor, múltiplo y de manera natural se llega a "número primo" (no divisible por ningún otro número salvo él mismo o la unidad) o primos relativos (sin ningún factor común y, por tanto, no divisibles entre ellos). Al final un número de m/n perteneciente a Q se representa por la fracción p/q donde p y q son primos relativos ambos divisores de m y n respectivamente y la fracción es irreducible. En el ejemplo anterior ½.

Números Reales:

Números Irracionales:
Sorprendentemente, sobre todo para los antiguos griegos hay números que no se pueden conseguir como una división de otros dos dados, por grandes que estos sean. Para los antiguos pitagóricos fue un auténtico "trauma" una auténtica crisis: nunca superaron este descubrimiento. Que un número tan importante y omnipresente como π (pi) (presente en la proporción o razón entre la longitud de la circunferencia y su radio o su diámetro) no fuera "racional" fue algo que les hizo tambalear todo su edificio matemático y filosófico. Su representación aproximada es

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068...
(hay proyectos para seguir avanzando en el número de cifras de Pi y ya se han logrado trillones de ellas sin que se haya encontrado ninguna pauta que pueda indicar reiteración)

Hay infinidad de ellos, como la raíz cuadrada de 2. Su representación geométrica es muy sencilla, es la diagonal de un cuadrado de lado 1. Puede pintarse fácilmente y su longitud es por tanto finita, pero posee una cantidad de números decimales que no se acaba nunca, y lo que es más desconcertante, que no se repiten por mucho que avancemos.
Por el teorema de Pitágoras c^2=a^2+b^2, si a=b=1, c^2=2, luego c=
Se trata de otro número irracional, esto es no podemos expresarlo como la razón (el cociente de otros dos números). Su representación decimal aproximada con cifras:

1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641573...

La demostración de que no es racional es muy sencilla por reducción al absurdo.
Suponemos que sí hay un número Q (a/b) que al cuadrado da 2 y llegamos a un absurdo, luego la hipótesis de partida no era cierta y no existe tal número, luego es irracional.

(a/b)^2 = 2;
a^2 / b^2 = 2;
a^2= 2*b^2;

luego a^2 es un número par ya que es igual a 2 por otro número, y como el cuadrado de un número par también es un número par, podemos expresarlo así:
(2k)^2= 2*b^2;
4k^2= 2*b^2;
2k^2= b^2;

Se repite el argumento anterior, b^2 es un número par, luego tenemos que el cociente de dos números primos entre sí resulta ser el cociente de dos números pares, que por tanto serían algún factor común al menos el dos y no serían primos entre sí, y esto es absurdo.

Más delante surgieron números importantísimos en matemáticas superiores aunque no aparecen en nuestro día a día de forma tan evidente, como el número e (llamado así en honor de Euler, aunque también se le conoce como Constante de Neper en honor al matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo al cálculo matemático) al que al igual que π aparece constantemente por todas partes,

e=



El número e, al igual que el número π, es un número trascendente, es decir, que no puede ser obtenido directamente mediante la resolución de una ecuación algebraica. Por lo tanto, es un irracional y su valor exacto no puede ser expresado como un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos. Ambos números son los más importantes de las matemáticas junto con el 1 y el 0. Es curioso que Euler encontrara una fórmula que los relaciona:

Que se considera una de las más "bellas" en matemáticas.

Realmente sólo es un caso particular de la famosa Fórmula de Euler:





Donde al expresar en radianes los angulos 180º=π y por tanto el coseno vale -1 y el seno 0. Despejando al otro lado de la igualdad.

También se puede expresar como logaritmo en base e o

Otro número muy importante es gamma, la constante de Euler-Mascheroni, muy importante en teoría de números y también aparece de vez en cuando en otras áreas.

= lim (n->inf ) ( 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n - ln(n) )= 0.57721566490153286061 ...


Otro es Φ (Número "áureo") aprox 1,6180...


El número o razón aurea es un número muy importante presente en las proporciones de los seres vivos, aparece en la formula de crecimiento de poblaciones (se estudió la primera vez en conejos), y en la famosa sucesión de Fibonacci.

Cuya fórmula recursiva es muy sencilla: cada término es la suma de los dos anteriores. Definiendo los dos primeros: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ...

Pero su formula general (que da el termino n-ésimo sin calcular todos los anteriores) es sorprendente:

¿veis al número aureo? ¿de donde sale la raiz de 5? (un dia dedicaremos una entrada a estos números tan especiales...)


Añadiendo al conjunto de números Q los números "irracionales" se completa el continuo de la recta y se denomina a este nuevo conjunto R o de los números reales.

Números Complejos:

Desde hace muchísimo también se conocían ecuaciones muy sencillas sin resultado o con solución a su juicio absurda o no real, como x^2=a; que no tenía solución si "a" era negativa.

Ejemplo: x^2 = -4. No hay ningún número que al cuadrado de ese resultado pues 2 al cuadrado resulta 4 y (-2) al cuadrado también resulta 4, y no -4.

De algún modo las ecuaciones de este tipo cuadradas, cúbicas o de orden superior no siempre tenían solución. Costó muchísimo aceptarlo pero poco a poco se iba arrastrando ese resultado como valor "intermedio, útil pero sin sentido", como en la resolución de alguna cúbica. Finalmente se aceptó que se operara con la raiz de -1 y a fuerza de escribirlo se le llamó "i" (de imaginario). Como se comprobó que no estaban en la recta real porque estaba llena con los números R se plantearon que estos nuevos números no mezclaran la parte real con la imaginaria del tipo a+bi y se les llamó Complejos. Se representaron en un plano. Donde el eje horizontal fuera la recta real concocida y el eje vertical fuera otra recta (con todos los valores como la horizontal) pero multiplicada por el número i


Cuaterniones

Posteriormente (antes incluso que el desarrollo de los vectores) Mr Hamilton generalizó los números complejos a más dimensiones, hasta 4 (con 3 que era lo que él perseguía para un modelo de nuestro espacio que es de 3 dimensiones, no conseguía una estructura de álgebra) y los llamó Cuaterniones.

Su idea y fórmula genial i^2 = j^2 = k^2 = ijk =-1

Es una de las anécdotas más simpáticas de las matemáticas: tras varios días tratando de darle forma a sus ideas, le vino repentinamente a la cabeza la solución paseando un domingo por el parque con su esposa, y no teniendo donde escribir lo apuntó en un puente ... fue como el Eureka! Lo que escribió en el puente fue exactamente esa fórmula.

Aunque nos parezcan muy abstractos, más de un siglo después los números inventados por Mr. Hamilton son actualmente muy útiles en Física de partículas.





Numeros Hipercomplejos

Construidos mediante herramientas del álgebra abstracta, tales como cuaterniones, tesarines, cocuaterniones (4 los tres), octoniones, bicuaterniones (8 ambos) y sedeniones (16).

Números Hiperreales

Las últimos en llegar son los Números Hiperreales (hace apenas 30 años) que incluyen los números reales conocidos más los números infinitamente grandes y los muy pequeños (infinitésimos o diferenciales).

Ya desde Newton y Leibniz se empleaban infinitésimos sin que se considerara su uso algo demasiado riguroso...con complejo de “apaño” útil . Con Cauchy y Weistrasss y sus epsilones y deltas en la definición de límite empezaron a ser aceptandos....

Como vemos la necesidad de contar con rigor no tiene límite, salvo el de la propia imaginación del hombre o su capacidad para descubrir nuevos números, va en gustos,... ya dedicaremos otro artículo a este tema tan interesante como antiguo: ¿la matemática se inventa o se descubre?. La idea pitagórica o platónica de que los objetos matemáticos tienen existencia y entidad propia o por el contrario son una obra de la mente humana, un edificio del pensamiento de increíble belleza... ¿Si los dinosaurios hubieran sido lo bastante inteligentes hubieran descubierto las matemáticas? ¿Si hubiese vida Inteligente en otras partes del Universo tendrían matematicas como las nuestras? ¿Tu que opinas mi numérico amigo?


Saludos elementales