¿Series Divergentes?

¡Hola Elementales!

En el mes de Abril la revista Investigacion y Ciencia traía un artículo sobre el Efecto Casimir, cuyo nombre se debe al físico Holandés Hendrik B.G. Casimir, quien predijo el efecto que ahora lleva su numbre. Sólo se puede apreciar a escalas nanometricas.

Consiste en una manifestación observable de "la energía del vacío" o de la "fluctuación cuántica del vacío". Se manifiesta como una atracción (o repulsión) de dos placas metálicas paralelas y separadas entre sí una distancia muy pequeña (típicamente nanométros) comparada con el tamaño de las mismas (las consideraremos lo suficientemente grandes para considerar que los efectos en sus bordes son despreciables).

El vacío, según la mecánica cuántica no está tan vacío, y en él se están produciendo constantemente pares de partículas y antipartículas, de periodos de vida muy cortos, ya que rápidamente se aniquilan mutuamente o con otras cercanas de una forma continua: se crean y destruyen y en promedio siempre hay un cierto número de ellas, en un número que va decreciendo con la frecuencia (energía) asociada a las mismas. Así las de alta energía y por tanto mayor frecuencia son más infrecuentes y su número escasea.

En principio el efecto viene a ser como las ondas estacionarias en una cuerda tensa, como por ejemplo de una guitarra, donde al imponer condiciones de contorno (los dos extremos de la misma no pueden oscilar porque están fijos). Así sólo terminan propagándose ondas de una longitud de onda igual a la mitad de la longitud de la cuerda y todos sus múltiplos o armónicos(todas las que empiecen y terminen, "quepan" exactamente entre ambos puntos).

Este mismo efecto se produce con las partículas que se van generando en el vacío, con la frecuencia y su longitud de onda asociada, se van primando unas sobre otras y al final hay algunas que se van anulando hasta que sólo quedan determinadas al imponer las placas una condiciones que limitan al vacío, produciendo un efecto de atracción entre las placas que se ha medido tal y como se predijo. Parecía una curiosidad y ahora hay que tenerlo en cuenta, en los nuevos diseños de nanodispositivos y chips.

Lo más interesante del artículo era que manifestaba la dificultad matemática de la mecanica cuántica en general, y en este efecto en partícular, para obtener el resultado de sumas y series infinitas, aparentemente divergentes: como el efecto de la suma de infinitos armónicos de frecuencia creciente, y por tanto de resultado infinito en su cálculo, pero que al medir en el laboratorio producían en cambio resultados finitos y perfectamente medibles.

Por ejemplo: la serie Sn= - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + .... ¿alguien ve si tiende a algo?

Es curioso porque parece que depende de si empezamos en 1 o en -1. Esta serie nos da mucho juego y es peligrosa de usar: todas las series que no sean absolutamente convergentes (según los criterios de Dirichlet http://es.wikipedia.org/wiki/Dirichlet) pueden dar valores distintos o absurdos dependiendo de cómo agrupemos términos o en qué orden se sumen parcialmente.

Euler y muchos otros se interesaron por ellas e idearon algún método para abordarlas.

En esta de nuestro ejemplo iremos con mucho cuidado y veremos a donde llegamos:

Tras el primer -1 el resto de la serie es la propia serie cambianda de signo, o sea que podríamos escribirla así:

Sn = -1 -(-1+1-1+1-1+1-1+...);

Sn = -1 - Sn;

2Sn = -1;

Sn = -1/2;

Que coincide con la solución que se precisa para justificar los resultados experimentales: -1/2.

¿No os parece sorprendente?

Este problema de la física cuántica se denomina "renormalización" y consiste en todo un conjunto de reglas o "trucos", según sus detractores, para "eliminar" la enorme cantidad de "molestos infinitos" que aparecen sin cesar en los cálculos.

Uno de estos métodos es efectuar los cálculos siguiente estrictamente un orden muy concreto: el de los famosos diagramas de Feynman http://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Feynman. Al principio parecían sólo una manera muy didáctica de representar interacciones entre partículas y finalmente resultaron muy útiles para "dirigir" los cálculos. Si se hacían los mismos en el orden adecuado siguiendo dichos diagramas se obtenían resultados finitos, en otro orden no.

Otra forma fascinante de conseguir resultados finitos es ¡Usando la Función Zeta de Riemann! la que él empleó para determinar la cantidad y distribución de los números primos. En concreto la expresión que él extendió a todo el plano complejo (salvo en S=1, que es donde se hace infinita).

C(1)= 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... la famosa serie armónica, que es divergente

C(2)= serie de la inversa de los cuadrados (el Problema de Basilea) = pi^2/6

C(3)=1,202... (serie de la inversa de los cubos) = constante de Apéry

...

En el semiplano de valor real negativo, y para valores enteros tenemos que:

C(0)=-1/2 ¿os suena?

C(-1)=1+2+3+4+5+.... que aparentemente debería tender a infinito, pero

C(-1)=-1/12 según la sumación de Ramanujan .

De este genial matemático de origen Indio Srinivasa Ramanujan, descubierto por Hardy, hablaremos monográficamente en otra entrada. En sus escritos enigmáticos que envió para que los revisara Hardy a Cambridge (UK) podía leerse entre otras muchas cosas:

1+2+3+4+5+...=-1/12

Él entendía las matemáticas como reveladas por inspiración divina y decía que una diosa indú se las comunicaba en sueños... ha habido pocos matemáticos como él en todos los sentidos (era capaz de escribir de memoria fórmulas sorprendentes de tamaño increíble como si alguien se las dictara al oído y nadie más sabía de dónde procedían ni por qué camino llegaba a ellas). Por desgracia murió muy jóven (el clima y la comida Inglesas le hicieron enfermar de forma fatal).

Hoy se escribe así en su nombre: 1+2+3+4+5+...=-1/12(R) que significa sumación de Ramanujan, para distinguirla de la suma normal.

Tenemos pues que la función Zeta de Riemann se usa explicitamente en los cálculos del Efecto Casimir. ¿es una coincidencia? También la sumación de Ramanujan (que surgió igualmente para Teoría de Números). Y los misteriosos números de Bernoulli!, que son de hecho valores de función zeta para enteros negativos. B1=-1/2 (Euler los relacionó en una formula con dicha función, os debo una entrada dedicada a ellos).

Como veis las coincidencias entre la matemática más básica, como Teoría de Números (y los números primos) y el Mundo Físico en su escala más elemental son sorprendentes (al menos a mí me lo parece) y están íntimamente relacionados.

¿De nuevo os parece una coincidencia? Al igual que le sucede a los números Pi o e (y en este caso también Phi la constante de Euler-Mascheroni) que aparecen constantemente por todas partes en matemáticas y física.

¿Conoce alguien alguna otra serie aparentemente divergente pero con resultado finito?

O alguna otra curiosidad. Que se anime y lo cuentee o lo planteé.

Un saludo Elementales!

Los Neutrinos

Hola Elementales,

Dedicaremos la entrada de hoy a las partículas más misteriosas de todas las que se han descubierto: Los Neutrinos.

Se están poniendo en marcha, justo ahora, dos de los proyectos más ambiciosos para estudiarlos: el proyecto T2K (Tokai to Kamioka) en Japón, el proyecto NOvA (NuMI Off-Axis Electron Neutrino Appearance) en USA. Junto con el proyecto Ice Cube, en La Antártida para seguir los neutrinos que proceden del espacio, y el SuperKamiokande, hacen que los neutrinos estén más de moda que nunca.

El neutrino se postuló en 1930 por el genial Wolfgang Pauli como la solución para que no se violara el principio de conservación de la energía (en el que se creía y aún hoy se cree firmemente): aunque no fuéramos capaces de observarla, debía de haber una partícula neutra que se llevaba parte de la energía y del momento lineal, en la desintegraión Beta (proceso de desintegración radiativa donde un neutrón se convierte en un protón y se emite un electrón a muy alta energía, y hoy sabemos que además un antineutrino, tal y como acertadamente predijo Pauli).

La partícula postulada, hoy llamada neutrino (en italiano neutro-pequeño) es un leptón (de la misma familia que el electrón), y como tal no le afecta la fuerza nuclear fuerte. Sin carga eléctrica, luego tampoco le afecta la interacción eléctromagnética. Y, se creía que, sin masa en reposo, como el fotón. Hoy sabemos que sí tienen una masa muy, muy pequeña, pero no nula. Y de spin 1/2.

Como un neutrino, casi únicamente sólo interactúa a través de la fuerza nuclear débil, y sólo a distancias inferiores al radio de un protón, puede atravesar la materia como si ésta no estuviera: ¡uno de ellos podría atravesar un bloque de acero de un año luz de largo para tener alguna probabilidad significativa de trasformar un protón en un neutrón, por ejemplo, tras chocar con él!

A nosotros mismos, en este momento, nos están atravesando miles de millones de neutrinos cada segundo procedentes del Sol. Que a continuación prosiguen su camino y atraviesan la Tierra de lado a lado como si tampoco estuviera... ¡son como verdaderos fantasmas!

Así que, no es raro que tardaran 26 años en encontrar una prueba experimental de su existencia: en 1956 Clyde Cowman y Frederick Reines lo consiguieron. Bombardeando agua pura con un haz de 1018 neutrinos por segundo, obtuvieron una emisión de fotones subsiguiente y así quedó comprobada su existencia.

Según el Modelo estándar (detalles básicos) de la Física de partículas, hay tres familias de partículas conocidas, cada una de ellas con su propio tipo de neutrino asociado: el neutino electrónico (asociado al electrón), el muónico (asociado al muón, una especie de electrón más pesado y de corta vida) y el tauónico (asociado al leptón tau, un primo muchísimo más pesado aún del electrón).

Fué en 1987 cuando Leon Max Lederman, Melvin Schwartz y Jack Steinberger descubrieron estos dos restantes tipos de neutrinos: tauónicos y muónicos.

Uno de los mayores misterios que los envolvía era si poseían masa o no, ya que no se había podido medir dado lo "ligeros" que eran . Si poseían algo de masa, aunque fuera poca, podrían tener un "peso" enorme en el conjunto del Universo, por ejemplo para determinar si finalmente la expansión se pararía, o en la propia geometría del Universo, ya que son muy, muy numerosos.

Hoy sabemos que no sólo no se está frenando la expansión del Universo si no que se está acelerando, debido a la "Energía Oscura", una suerte de energía del vacío o costante cosmogológica, que actúa como una gravedad repulsiva.

También sabemos que hay mucha más materia de la que podemos "ver". Y los neutrinos han sido durante mucho tiempo un candidato a ingrediente de la denominada materia oscura (no es lo mismo que la energía antes mencionada, ojo): de la que sabemos que "pesa" pero no podemos observarla (sentimos y podemos medir sus efectos gravitatorios, pero no interactua con el electromagnetismo, por lo que no emite ninguna luz en ninguna frecuencia). Hoy sabemos que tampoco podrían ser un ingrediente significativo de la misma. Se calcula que la materia ordinaria no llega ni al 4% de todo lo que hay en el Universo Observable (lo que le ha dado tiempo a recorrer la luz desde el comienzo hace unos 15.000 Millones de años), la Materia Oscura un 20%-25% y el resto es Energía Oscura (como un 70%).

Las reacciones que mantienen encendido al Sol, así como el ritmo necesario para mantenerlo estable, se cree desde hace tiempo que se conocen bien, y básicamente, aunque mediante dos tipos de ciclos, al final trasforman dos protones en dos neutrones uniéndolos con otros dos protones más para lograr un núcleo de helio (2p2n). En el proceso se liberan dos positrones (la antipartícula del electrón pero con carga positiva) y dos neutrinos electrónicos.

Según estos cálculos, a la Tierra le deberían llegar del orden de 10^20 neutrinos por segundo y por unidad de área. ¡La sorpresa sobrevino cuando tras medir concienzudamente se descubrió que a la Tierra sólo le llegaba una tercera parte de lo esperado!. ¿No sería que al final no conocíamos tan bien como creíamos lo que sucede dentro del Sol?

La explicación más plausible fué aún más misteriosa y se conoce como "Oscilación Neutrínica" o "Problema de los neutrinos solares". No se sabía cómo, pero los neutrinos cambian de sabor conforme viajan desde el Sol a la Tierra, con una probabilidad casi al azar entre los sabores, de ahí el tercio observado. Así al medir sólo los neutrinos electrónicos, que son los que debería producir el Sol, no veíamos los otros sabores en los que se habían ido trasformando. Se sabe que dependen de la distancia recorrida desde su generación y que dentro de la materia el efecto es más acusado... y poco más.

Esto desafiaba el Modelo Estandar, ya que según el mismo, los neutrinos sólo podrían cambiar de sabor si su masa fuera no nula (aunque a priori les había asignado masa cero). Al final el modelo podría modificarse sin demasiados problemas para masas pequeñas (como las acotadas por los experimentos, como posibles).

Los neutrinos son la única partícula que nos podría permitir mirar directamente qué sucede dentro de una estrella, o al comienzo mismo del Universo: ya que en origen del Universo la radiación no pudo viajar libremente debido a las altas condiciones de temperatura y presión reinantes, todo él estaba en estado de plasma, y no podía ser atravesado por los fotones, hasta que se enfrió lo bastante como para dejar de ser plasma (los nucleos atraparon a los electrones y se crearon los primeros átomos). Tras los primeros cientos de miles de años el Universo se volvió transparente a la luz!. A partir de ahí, podemos mirar diretamente en la Radiación Cósmica de Fondo, aún observable, entonces muy caliente como el propio Universo. Hoy en día todavía es un débil eco de tan sólo unos pocos grados por encima del Cero Absoluto, y se enfriado hasta ese punto debido a la expansión del Universo.

Así los telescopios de neutrinos serán la siguiente revolución en la observación del Cosmos, que nos permitirá ver cosas totalmente nuevas e insospechadas, tal y como sucedió antes con la aparición de la astronomía en ondas de radio o radioastronomía, la infrarroja, la de rayos X, o la de rayos Gamma. De hecho el proyecto Ice Cube bajo los hielos Antárticos podría considerarse el primer telescopio de neutrinos rudimentario.

La presión en el interior de una estrella moribunda es tan alta, que hasta los propios neutrinos empiezan a interactuar con la materia, que empieza a dejar de ser transparente para ellos en esas condiciones. Se sabe que juegan un papel muy importante en el fin de una estrella masiva, y que se llevan casi toda la energía de la estrella en esos momentos finales. Así, en una supernova casi toda la energía de la explosión es emitida en forma de neutrinos de alta energía.

El detector SuperKamiokande en Japón logró algo sin precedentes: pudo medir en la supernova 1987A el retraso entre la llegada de los fotones y de los neutrinos procedentes de la explosión, demostrando así que los neutrinos sí tenían masa: si no la hubieran tenido habrían viajado a la velocidad de la luz, como los fotones y llegado por tanto a la vez que éstos, y no lo hicieron, llegaron casi a la vez, pero al final un poco después (la masa debe de ser al menos 2000 veces inferior a la del electrón, ya que su velocidad era de 0,99999... con muchos decimales la de la luz).

Las trampas actuales para detectar neutrinos, suelen ser de dos tipos, pero siempre incluyen tanques enormes llenos de alguna sustancia que reaccione bien con ellos, cuando chocan (como moléculas de cloro, agua pesada, etc...). La cantidad de sustancia debe de ser enorme: ya que un sólo neutrino tiene una probabilidad tan baja de interactuar con la materia, hay que aumentar enormemente el número de neutrinos (el sol es una fuente enorme de neutrinos de tipo electrónico, y las centrales nucleares de fisión) y sobre todo el de partículas de materia.

El tipo Radiactivo: el neutrino choca con una partícula del núcleo, trasmutando un protón en un neutrón o viceversa, y dando lugar a algún elemento próximo pero radiactivo (ejemplo el Cloro 37 se transmuta en Argón 37 radiactivo (y podamos ver sus emisiones).

El tipo Cherenkov: el neutrino choca con un electrón, y le comunica una velocidad que en ese medio puede ser superior al de la luz en él, emitiendo la característica radiación de Cherenkov (algo así como el estruendo de un avión cuando supera la velociadad del sonido pero con luz. ¡Ojo! Esto no viola la Relatividad de Einstein, sólo supera la velocidad de luz en ese medio material (donde será inferior a la del vacío por supuesto, la partícula viaja a menor velocidad que la luz en el vacío). En este tipo de detector se ponen cientos o miles de fotoamplificadores-detectores en el inmenso tanque de líquido transparente para detectar todos y cada uno de los destellos que se produzcan.

Deben estar enterrados bajo tierra a cientos o miles de metros para no confudir el experimento con los destellos procedentes de choques de neutrinos y otras partículas procedentes del espacio exterior con moléculas de la atmósfera. Normalmente en minas muy profundas ya avandonadas.

Los neutrinos procedentes del espacio y que chocan con la atmósfera o con la superficie de la Tierra, también son muy interesantes y se están estudiando aparte. Nos traen información de primera mano sobre fenómenos increíblemente energéticos en el Universo, como supernovas, choques de estrellas de neutrones, agujeros negros, etc...

El proyecto NOvA acaba de empezar a construirse en una mina de Minnesota coordinado con el Laboratorio de Aceleración Nacional Fermi. Contendrá 15.000 toneladas de sustancia para detectar partículas, y pretende investigar el papel de los neutrinos en el origen del Universo. El haz de neutrinos se generará en el Fermilab y se detectarán en el detector Nova en Minnesota, atravesando las 500 millas que los separan (unos 800 kilómetros) en 3 milisegundos. Las cifras son enormes: acero, carreteras, 180 científicos e ingenieros de 28 instituciones...

Para más información, podeis echarle un vistazo en:


http://www.fnal.gov/nova/

El proyecto T2K (Tokai to Kamioka) en Japón se dedicará a investigar la oscilación neutrínica. Acaba de detectar el primez haz de neutrinos muónicos producidos el J-PARC (Japan Proton Accelerator Complex). Ya el superKamiokande detecto las primeras oscilaciones entre sabores muónicos y electrónicos, producidos en la alta atmósfera. Se trata de generar un haz controlado y medible con una intensidad enorme para poder medir en el detector. Se generarán neutrinos muónicos de 12GeV (Giga electrón voltios, una manera de medir la energía para estas partículas tan pequeñas y su masa conforme a E=mc2). 1 Electrón Voltio es la energía que adquiere un electrón en reposo tras someterlo a un campo electrico de 1Voltio. 1GeV y viene a ser aproximadamente similar a la masa del protón (en reposo).

Para saber más:

http://j-parc.jp/index-e.html


http://kek.jp/intra-e/press/2009/J-PARCT2K.html

El proyecto Ice Cube es simplemente espectacular e imaginativo: para detectar los neutrinos procedentes del espacio, que traen tanta información del Universo entero, se ha considerado que los hielos Antárticos son el mayor depçosito de una sustancia (en este caso agua) lo suficientemente pura y transparente que hay en el planeta. Así se están perforando miles de pozos en un área de varios kilómetros cuadrados, de una profundidad similar al lado del cuadrado, formando un Cubo de kms de lado "lleno" de fotodetectores ubicados de forma uniforme cada cierta distancia en metros en todas direcciones.

¿La idea es buena o no? Imaginaros la dificualtad técnica y de ingeniería civil. Y mantener gente permanentemente allí. Por no hablar del matenimiento de los detectores a kms bajo el hielo..

Para saber más:

http://icecube.wisc.edu/

Como veis, pese a que cumplen casi 80 años desde su descubrimiento, los neutrinos gozan aún de una salud de hierro, en lo que a misterios y secretos suponen aún para los investigadores.

¿Quien iba a decir que un truco matematico para conservar la energía llegaría tan lejos?

¿Tu qué opinas? Los trucos matemáticos en física, siempre han pasado finalmente de ser considerados únicamente eso : un truco útil que simplificaba cálculos, a convertirse en una realidad física con entidad propia; como la propia energía, el concepto de campo (frente a fuerza), etc...

¿Hay una misteriosa conexión entre las ideas matemáticas más sencillas y elegantes y la realidad última de nuestro Universo? ¿o es una simple casualidad desconcertante?

¿Subyace una verdad profunda bajo todo ésto?, como que el Universo es en realidad pura matemática, tal y como creían los antigüos Pitagóricos y Platónicos ¿O el cerebro humano, fruto de millones de años de evolución para adaptarse a él y realizar modelos y predicciones, realmente piensa de un modo similar a como el Universo realmente actúa, fruto de nuestra propia experiencia en él?.

¡No seais tímidos y exponer vuestras ideas! Cualquier participación es mejor que "nada". Incluso las primeras ideas aún sin elaborar, (y sin tener una opinión previa formada). A veces esta primera intuición suele ser muy acertada, aunque se exprese de forma coloquial.

Muchos saludos (pero muy pequeños, como los neutrinos).

Franciso Jose Menchen

Novedades en fisica de particulas - Primavera'09

Hola Elementales!

¡Parece que, desde el CERN, las noticias son que no hay noticias! Al menos de las malas, que son a las que desde hace una año nos han venido acostumbrando.

Han realizado un comunicado para anunciar que ya han terminado de sustutuir todos los imanes dañados en el túnel en el sector III del LHC (Gran Colisionador de Hadrones), donde tuvo lugar el fallo eléctrico que produjo un escape de helio y nos condenó a todos a esperar un año más antes de ver resultados.

Han tenido que sustituir un total de 53 imanes (superconductores, de tipo tetrapolos) de los empleados para enfocar el haz de partículas en su recorrido por el largo túnel.

También han aprovechado para instalar un nuevo sistema de seguridad, del que antes se carecía, para que este tipo de fallos no vuelva a ocurrir. Este sistema incluye monitorización muy precisa de diversas partes y un nuevo sistema de control y actuación incluyendo nuevas válvulas de control de presión del helio liquido.

Según el comunicado, si todo va según lo previsto, el sistema comenzará a funcionar en pruebas de nuevo en Otoño y se espera que algún tiempo después se puedan obtener los primeros datos en una cantidad y a un ritmo suficiente como para que les sean útiles a los investigadores del mundo entero que los están esperando de forma ansiosa desde hace ya tanto tiempo.

Que no pase nada más... no podemos esperar otra cosa (¡53 imanes!)

¿Teneis vosotros alguna otra noticia sobre el LHC? Animaros y contadnosla

Un elemental saludo

Novedades en el mundo de la fisica de partículas

Se confirma que en el Fermilab el más potente acelerador del mundo en estos momentos, se acaban de encontrar quarks top completamente aislados, algo que se creía casi imposible. En la desintegración de un proton contra un antiproton este hecho sucede con una posibilidad de 1 frente a 20 billones, mediando la interaccion debil en vez de la fuerte como suele ser habitual.

Esto abre la puerta a buscar una particula Higgs aislada ya que encontrar los datos de un choque entre los restos de 20 billones es todo un reto tecnologico. ¡Enhorabuena para el equipo! ¿Sabeis por qué se creía que no podíamos ver un quark aislado?

En el Fermilab estaban comprobando y midiendo con precisión, las prediciones de las teorías actuales, buscando las particulas predichas y comprobando que ni falta ni sobra ninguna. Así hay que buscar todas las combinaciones con todos los quarks conocidos. Ahora se están buscando y se ha encontrado la más sencilla que faltaba constituida por dos quark estraños: ssu (dos estraños y uno up) y spin 1/2, falta la ssd (dos estraños y uno down) y sus versiones con todos los spines orientados en la misma direccion: 3/2 y por ultimo sólo una sss (tres estraños).

La materia normal esta constituida por protones (uud) neutrones (udd) en su configuracion de menor energia, esto es con los tres espines no totalmente alineados, uno de ellos en contrafase, resultando spin 1/2.

Hay que seguir buscando las formadas por quarks "encanto", "down" y "top".

http://www.fnal.gov/pub/presspass/images/Single-Top-Quark-2009.html

La interacción débil es la fuerza capaz de "cambiar de sabor" transmutar un tipo de quark en otro. Así en el Sol se quema hidrogeno para conseguir helio: dos protones se transforman en neutrones para conseguir el nucleo de helio que consta de dos protones y dos neutrones. Si para ello hay que mover carga, las partículas que portan la fuerza también transportan la carga: W+, W- y de las teorias surge una predicción que se encontró; las partículas Zo o de corriente neutra.

También se ha encontrado en otro experimento un exceso de muones (unos primos gordos de electrón, practicamente iguales pero mucho más pesados y de vida muy corta). Y tras mucho analizar sólo se les ha ocurrido que podría explicarse si un nuevo tipo de partícula muy masiva y neutra se hubiera creado, hubiera atravesado a una velocidad enorme el detector, sin dejar ni rastro y unos milimetros después se hubiera desintegrado en partículas menos masivas, hasta terminar de decaer en los muones.

De confirmarse, esta sería una de las noticias más excitantes de los últimos 10 años. Podría tratarse de una de las partículas que se están buscando como posibles costituyentes de la materia oscura (que "pesa" gravitatoriamente y podemos sentir los efectos de su masa, pero no la vemos porque no interactúa con la fuerza electromagnetica). Hay que repetir el experimento en alguna otra parte del mundo y diseñar un detector para este tipo de particulas.

También se ha encontrado por fin un eco en el detector de ondas gravitatorias GEO-600 (en Alemania) que no tiene aparente explicación. Los cientificos del Fermilab creen que encaja muy bien con las predicciones de un modelo del universo: el Universo Holografico. Se trata de una aplicación o proyeción de las ecuaciones (de una de las posibles teorias del todo), de la teoria supercuerdas sobre una superficie de contorno de nuestro Universo y las ecuaciones que se así obtienen resultan más sencillas de manejar con una dimensión menos, por ejemplo las de la interacción fuerte. ¿significa esta argucia o truco matemático que realmente nuestro universo tal cual lo vemos es una ilusión holográfica? ¿o no tiene sentido fiisico? ¿Que pensais elementales? Podeis verlo en Tendencias21 en este enlace:

http://www.tendencias21.net/Un-extrano-ruido-detectado-por-el-GEO-600-podria-probar-que-vivimos-en-un-holograma_a2996.html?com#last_comment

Ya decía que como tarde mucho en arrancar el LHC del CERN no van a quedar partículas por descubrir. Es broma esperemos que no se demore mucho. Se cree que para otoño de este año arranque de nuevo.

Un saludo Elementales


Fran

El Problema de Basilea

¡Hola Elementales!

En nuestra anterior entrada os prometí contar cómo el jovencísimo Euler con tan sólo 27 años consiguió el valor exacto de la famosa serie de la inversa de los cuadrados... el "Problema de Basilea".

Durante todo el siglo XVII se habían puesto de moda entre los matemáticos más afamados la resolución de series y sumas infinitas, sobre todo las más simbólicas:

Antes de ver el objeto de nuestro artículo permitidme que me repare antes en la resolución de otra serie igualmente famosa, y que le dió fama instantánea a otro jóven genio: Leibniz.

El joven Leibniz se dio a conocer en París (donde fué enviado con tan sólo 24 años como diplomático, puesto en el que permaneció durante 4 años)al resolver de un modo muy ingenioso "la suma del inverso de los números triangulares":

Los números triangulares son como su nombre indica


n=1, Sn=1
n=2, Sn=1+2=3
n=3, Sn=1+2+3=6
n=4, Sn=1+2+3+4=10
n=5, Sn=1+2+3+4+5=15
n=6, Sn=1+2+3+4+5+6=21

Ya te habrás dado cuenta de que cada nuevo numero triangular se obtiene sumando al anterior la nueva fila, cada numero triangular es la suma de los números colocados en triángulo, así el primer número es sólo la suma de una fila con un elemento: 1, el segundo es la suma de dos filas, la primera con un elemento y la segunda con dos números (1+2=3), el tercer número 1+2+3=6, y así sucesivamente. La fórmula es recursiva: cada número se calcula muy bien conociendo los anteriores... pero si queremos calcular uno muy grande sin tener que calcular todos los anteriores...¿cuál es la fórmula del término n?

El profesor de Gauss siendo un niño de primaria tenía un truco para estar un buen rato tranquilo sin que le molestaran sus alumnos: les mandaba a todos los colegiales calcular el número triangular número 100. Gauss entregó su tablilla al profesor tan sólo unos segundos después de que éste propusiera el problema, dejando como era costumbre su tablilla sobre la mesa del profesor puesta boca a bajo, y éste montó en cólera y le acusó de haber mirado la solución fisgando en su cajón. Pero no lo había hecho, simplemente no había realizado 100 sumas, sólo una operación más sencilla:

Por ejemplo:

El profesor de Gauss una vez éste le explicó cómo lo había hecho se convenció de tener un niño con unas capacidades increíbles para las matemáticas: no se equivocó, e hizo cuanto pudo para conseguir desarrollar dichas capacidades y cuando vio que ya no podía enseñarle más, recomendarle efusivamente para que continuara estudiando.

Huygens, quien se hizo famoso por su modelo ondulatorio de la luz, era una auténtica enciclopedia viviente matemática. Holandés de fama legendaria estaba en la Academia de las Ciencias de París (a la sazón recientemente creada). Leibniz quería aprender matemáticas (ya que su formación había sido más bien lenguas clásicas, derecho y filosofía), y acudió a Huygens. Antes de admitirle como alumno le propuso una especie de examen para ver si tenía actitudes. Le propuso calcular la Serie Triangular o de los inversos de los Números Triangulares:

Él aún no sabía demasiado de matemáticas pero al igual que Gauss tenía unas facultades innatas para las matemáticas. Leibniz se hizo famoso por calcular diferencias entre términos de una sucesión, y series de diferencias y su Triángulo característico.

En este caso la idea genial fue ésta: viendo el término general y si nos olvidamos del 2, se dio cuenta de que:

Si expresamos cada término usando esta fórmula, reescribimos la serie así:

¡Si ordenamos los paréntesis de otra forma vemos que todos los términos se anulan menos el primer uno!

¡La solución era 2!

Los genios ven de repente un enfoque nuevo desde el que abordar un problema, desde el cual es sencillo acometerlo... esta es la verdadera "garra por la que reconocemos a un león" como le dijeron a Newton en su día). Leibniz fue eclipsado en vida por la gran figura de Newton, en otra entrada hablaremos de ambos y de cómo ahora sabemos que ambos descubrieron de forma independiente el calculo infinitesimal (diferencial e integral además sabiendo que uno era la operación inversa de la otra). Mi opinión personal es que la idea de Leibniz fue mucho más potente, no sólo era una manera de anotar... de hecho su escuela es la que más fructificó.

f '(x) indica la derivada de la función f(x)

Indica aparentemente lo mismo pero se lee así "la derivada con respecto a x de la función f(x)", es muy potente: permite derivar también con respecto a otras variables, y aparece y se puede despejar dx, que se lee “diferencial de x” probablemente el concepto matemático más potente por derecho propio desde los tiempos de los Griegos, de hecho crea el cálculo infinitesimal o que hoy llamamos análisis. Newton se avergonzaba de “este truco para encontrar la verdad” y hasta que no encontraba una “verdadera demostración” al estilo de los Clásicos, puramente geométrica, no lo hacía público, lo utilizaba sólo para descubrir la solución y orientar sus investigaciones (algo así como un atajo para iluminar el camino...)

A Leibniz le debemos que, al contrario que Newton que prácticamente no tuvo grandes discípulos que brillaran tras él salvo Halley (porque hasta a sus alumnos ocultó su potente nuevo método de cálculo de “fluxiones” en buena medida), que extendiera y divulgara, fertilizara como una abeja polinizando toda Europa con sus ideas: era un gran viajero, muy abierto y comunicador.

Sus alumnos famosos fueron muchos: pero sin duda los más aventajados fueron los hermanos Bernulli, Jakop y Johanm. De la familia Bernulli ya hablaremos en otra entrada monográficamente, pero es fácil confundirlos porque además de estos dos hermanos continuó la saga y hubo más generaciones que se dedicaron con atino a las matemáticas y la física, el hijo de uno de ellos coincidió con Euler en San Petesburgo.

Los Bernulli vivían en Basilea (Suiza) y fueron profesores de matemáticas. La serie del inverso de los cuadrados estaba de moda en aquel momento. Y los Bernulli se dijeron que con el enfoque adecuado sería fácil abordarla, como lo fue la de los números triangulares. Pero pronto vieron que la cosa era claramente distinta, mucho más difícil:

Sn=1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ...

Se sabía el valor aproximado de la misma: pero se quería el exacto.
Euler adquirió pues fama en todo el mundo al resolverla de un modo que aún hoy deslumbra:

Cogió la serie de Taylor para la función seno:

Pensó que si es convergente con una suma de polinomios, también debería poder ser factorizable como cuando éstos son finitos: ¿dónde se anula la función seno? en x=0 y en todos los multiplos de π { ±π ±2π ±3π ±4π ±5π ±6π…}, suponiendo que se pueda factorizar con infinitos ceros... Tardó varios años en probar con rigor su demostración, que aún así publicó.

Como para todos y cada uno de los n tenemos que nπ es una raiz del polinomio, se cumple que:














Luego podemos escribirlo también así:





Dividiendo entre x en ambos términos (sen x)/x y en los factores anulo x y ajusto la cte que debe ser =1. Ya que:






Por polinomios sabemos que los términos de grado igual deben de tener coeficientes iguales.
Así el coeficiente de x al cuadrado coincide con el respectivo al otro lado:






Despejando en ambos queda que:

Así se tendía un puente entre el análisis y la series de números enteros...

¡Impresionante! ¿no?

En la proxima entrada hablaremos de los misteriosos Números de Bernulli, que tienen una íntima conexión con la función Zeta de Riemann (de hecho son valores de la misma para entradas enteras) aún no comprendida completamente.

Un abrazo Elementales

La Criba de Eratóstenes y La Llave de Oro

La fórmula que nos proporcione el número primo número n aún no se ha encontrado. El primer algoritmo para encontrar los números primos (del que se tenga constancia escrita) nos lo proporcionó el Griego Eratóstenes (200 a.C) el procedimiento es muy sencillo:

Sobre la tabla de todos los números naturales menos el número 1 (al ser trivial que cualquier numero es divisible por él) y el siguiente número no tachado (en este caso el 2) se escoge como un primo, y a continuación se empieza a tachar toda su tabla de multiplicar (4,6,8,10,12,14,16...) como muestra la figura1:
Una vez hecho esto (hasta el número que se desee, en este caso hasta el 200), se escoge el siguiente elemento no tachado como el siguiente primo, en este caso el 3, y se procede a tachar los elementos no tachados ya de su tabla, tal y como muestra la figura:


Repitiendo el proceso para el siguiente que es el 5,… y para el siguiente que sería el 7, 11, 13, y así sucesivamente

Como vemos es un procedimiento muy sencillo tanto para realizar a mano como muy fácilmente implementable en un ordenador. Siempre que se decida hacer hasta cierto número n. Por ejemplo, en la figura 2, está la tabla de números primos hasta n=1000. Los números tachados están en gris claro y los primos en negrita.

A simple vista se ve que es una distribución muy caprichosa (a estas escalas más aún). Entre los diez numeros anteriores a 100 hay sólo un primo (el 97), en cambio entre los 10 siguientes hay cuatro (101, 103, 107 y 109). Y así sucede hasta donde hemos podido comprobar con los más potentes ordenadores.

Otra propiedad que se ve a simple vista es que se van "espaciando" cada vez más: la distancia entre un primo y el siguiente si bien parece caprichosa no deja en promedio de aumentar. Hay un límite: se ha demostrado que entre n y 2n siempre hay al menos un número primo.

Se puede ver positivamente: siempre encontraremos un número primo a partir de un número n dado, por grande que n sea. La primera demostración de que hay infinitos números primos ya la dió Euclides en su Libro IX de los Elementos. La demostración como de costumbre parte del supuesto contrario: si tuviera un número limitado de números primos: p1, p2, p3, ...pk. Siempre podría crear un nuevo número multiplicando todos los primos y sumandole uno, que no sería divisible por ninguno de ellos y por tanto sería primo, lo cual es absurdo porque hemos dicho que ya no había más... luego su número no tiene fin.

O negativamente: Siempre podremos encontrar un intervalo de números de una longitud todo lo grande que queramos sin que haya un sólo número primo dentro en él, por grande que éste sea.

Otra pregunta muy natural y que surge de manera casi inmediata: ¿cuántos números primos hay hasta ese número n? En los casos de arriba con n=100, 200 y 1000, tenemos respectivamente π(100)=25, π(200)=46, π(1000)=168. Esto se conoce como función π(n) y se lee como Pi de n. Gauss fue el primero en ver con su “buen ojo” para las matemáticas que se aproximaba al n/log(n). La historia cuenta que los libros o cuadernos matemáticos de la época solían terminar con tablas de primos y de logaritmos, fue su intuición la que asoció ambas. Después afinó la función aún más con el logaritmo integral Li (una función que no tiene expresión algebraica propia o aún no se ha encontrado, es el área bajo la curva de la función logaritmo, o sea la integral definida bajo la misma desde 2 hasta infinito). De todo esto hablaremos en otra entrada.
Ya volveremos sobre el número de primos menores que un determinado número n, o lo que es casi los mismo la probabilidad de encontrar un número primo menor que n.

Vamos a ver como el siempre absolutamente genial Euler inventó una forma matemáticamente muy elegante de hacer la misma criba. Más tarde Riemann cogió esta fórmula casi olvidada ( o mejor camuflada entre la ingente cantidad de obra publicada por tan prolífico genio) y la extendió a los números complejos, (también la ajustó para que estuviera definida en todo el plano complejo en vez de sólo en el semiplano con Re(S)>1). La haremos pues con la variable S.

Partimos de la función Zeta ζ(S)

(1)

Tal y como vemos es la suma del inverso de todos los números naturales elevados a un mismo número S. Está definida para todos los números estrictamente mayores que 1, ya que en S=1 nos daría la serie armómica que es divergente. Si S=2 tenemos la famosa serie de la inversa de los cuadrados cuya resolución dio fama mundial al jóven Euler, por resolver el famoso “problema de Basilea” (de donde era original al igual que la familia Bernulli quienes acometieron el problema sin éxito al igual que todos los mejores matemáticso del momento) con tan sólo 28 años y demostró que:

ζ(2)= π^2/6

La demostración es una de mis favoritas, y la pondré al final. Lo mejor de todo es que no se molestó en demostrar que todos y cada uno de los pasos seguidos se podían dar con rigor, siguió su instinto e intuición y algún tiempo después dió una demostración rigurosa él mismo.

Multiplicamos la expresión (1) por (y obtenemos la tabla del 2 invertida):

(2)


Ahora viene la idea buena, restamos a la expresión (1) la expresión (2), o sea, a todos los números (invertidos) le restamos (tachamos) la tabla del 2 ,primer primo, (aunque todo invertido, pese a que ya no se diga en adelante). Y obtenemos la siguiente expresión:

(3)


Multiplicamos la expresión (3) por (el siguiente primo, o número no tachado, el tres):

(4)


Ahora le restamos a los que nos quedaban, expresión (3), la expresión (4) (como antes pero ahora restamos la tabla del 3) y obtenemos:

(5)


Repetimos el proceso para todos los primos… de esta manera los vamos pasando a la izquierda y vamos cribando, vamos tachando en la derecha hasta que sólo quedaría el uno (quedaría demostrar que la serie efectivamente converge a 1, pero hagamos como Euler en su día y avancemos...)



(6)

Despejando ζ(S) obtenemos:

(7)



Que puesto de una manera más cómoda y elegante:

Donde tenemos el producto de todos los términos recorriendo todos los números primos.

La idea es muy potente, aunque parezca sólo una manera más adecuada de expresar la idea de la Criba de Eratóstenes. Relaciona la suma de todos los números con el producto de todos los primos. Suma con producto, ¿alguien recuerda que herramienta matemática permite convertir multiplicaciones en sumas? Sí, el logaritmo de un producto es suma de logaritmos (antes de que hubiera calculadoras, las tablas de logaritmos permitían realizar una engorrosa multiplicación de dos números grandes en una siempre y cómoda suma, sin más que consultar las tablas). La idea intuitiva de Gauss parece que estaba en el aire…

En la siguiente entrega os contaré qué descubrió Riemann al pasarla al dominio complejo: Un fantástico paisaje se desplegó ante sus ojos (tal vez los más imaginativos que ha habido en toda la historia de la matemática para ver superficies y curvas en el espacio) con un enorme monte que emergió ante él subiendo hasta los cielos situado en S=1 (único punto en el que la función Zeta de Riemann se hace infinito).



¡Un saludo y FELIZ AÑO NUEVO Elementales!

PD. Poniendo los primeros números primos uno tras otro hasta n=1000 resulta la siguiente lista

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223,227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.

Se han entregado los premios Bitacoras.com

Hola Elementales,

Ya se han hecho publicos y ha tenido lugar la entrega de los premios Bitacoras.com que premian los blogs. El enlace ofical es Premios Bitacoras.com

Premio Mejor Blog Periodístico: 233grados.com
Premio Mejor Blog Tecnológico: Microsiervos
Premio Mejor Blog Cultural: El Blog Ausente
Premio Mejor Blog Político: Escolar.net
Premio Mejor Blog Personal: Hay Mujeres
Premio Mejor Blog de Negocios: Loogic.com
Premio Mejor Blog Deportivo: Deporte Acción
Premio Mejor Blog de Viajes: Kirai
Premio Mejor Blog de Humor: El Pito Doble
Premio Mejor Fotolog: Fotomaf
Premio Mejor Podcast: Tortilla de Patata
Premio Mejor Videoblog: Lost In Bilbao
Premio Mejor Blog Medioambiental: El Blog de Greenpeace España
Premio Microblogger del Año: @mmoroca
Premio Mejor Blog Revelación: Ayuda Wordpress
Premio Mejor Blog del Jurado: Generación Y
Premio Especial Honorífico: Mangas Verdes
Premio Mejor Blog del Público: Kafelog

¡Enhorabuena a todos los ganadores!

¡¡¡Y enhorabuena especialmente a Microsiervos!!! Por la magnífica labor de divulgación científica que viene haciendo desde hace tiempo. Es uno de los links recomendados que pusimos en ELEMENS desde el principio.

Ha habido otras candidaturas también muy queridas como Gaussianos a los que aprovecho para felicitar igualmente y dar ánimos, para seguir haciendolo tan bien como siempre e intentarlo de nuevo el año que viene.

A la organización de los premios Bitacora únicamente sugerirles que tal vez la divulgación científica merezca al menos un premio en sí misma, y no sólo compartida dentro de un saco tan grande como "tecnología", que a mi juicio es más bien ciencia aplicada o directamente inventos.
Ni que decir tiene que sería ideal un premio para cada gran área como Física, Matemáticas, Quimica, Biología, etc...

Un saludo Elementales